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1、1 第十八章平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 专题一开放类题目 1. 在四边形 ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形， 请你对四边形 ABCD 填加一个条件，使四边形EFGH 成为一个矩形这个条 件是. 2. 如图， 两个完全相同的三角尺ABC 和 DEF 在直线 l 上滑动 要使四边形 CBFE 为菱形，还需添加的一个条件是（写出一个即可） 3. 如图，在 ABC 中，D 为 BC 边的中点，过 D 点分别作 DEAB 交 AC 于点 E，DFAC 交 AB 于点 F （1）证明： BDFDCE； （2）如果给 ABC 添加一个条件，使四边形AFDE 成为菱形
2、，则该条 是；如果给 ABC 添加一个条件， 使四边形 AFDE 成为矩形， 则该条 件是（均不再增添辅助线）请选择一个结论进行证明 专题二规律探索题 4. 如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1 幅图中有 1 个正方形；第2 幅图中有 5 个正方形；按这样的规律下去，第6 幅图中有个正方形 2 5. 如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，DAB=60 连接对角线 AC，以 AC 为 边作第二个菱形ACEF，使 FAC=60 连接 AE，再以 AE 为边作第三个菱 形 AEGH 使HAE=60 ， 按此规律所作的第n 个菱形的边长是 6. 如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10，A=
3、60 . 顺次连接菱形 ABCD 各边中 点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点， 可得四边形 A2B2C2D2；顺次连接四边形 A2B2C2D2各边中点， 可得四边形 A3B3C3D3；按 此 规 律 继 续 下 去 ， 则 四 边 形A2B2C2D2的 周 长 是； 四 边形 A2013B2013C2013D2013的周长是. 专题三综合应用题 7. 如图，M 为正方形 ABCD 边 AB 的中点，E 是 AB 延长线上的一点， MNDM， 且交 CBE 的平分线于 N （1）求证： MD=MN； （2）若将上述条件中的 “ M 为 AB 边的中点 ”
4、改为“ M 为 AB 边上任意一点 ” ， 其余条件不变，则结论 “ MD=MN” 成立吗？如果成立，请证明；如果不成立， 说明理由 3 8. 在ABCD 中，AC、BD 交于点 O，过点 O 作直线 EF、GH，分别交平行四 边形的四条边于 E、G、F、H 四点，连接 EG、GF、FH、HE （1）如图，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由； （2）如图，当 EFGH 时，四边形 EGFH 的形状是； （3）如图，在（2）的条件下，若 AC=BD，四边形 EGFH 的形状是； （4）如图，在（3）的条件下，若 ACBD，试判断四边形 EGFH的形状，并 说明理由 4 参考答案 1. AC
5、BD【分析】由三角形中位线性质易得四边形EFGH 是平行四边形， 当添加 ACBD 时，可得到四边形 EFGH 为矩形 . 2. 答案不唯一，如 CB=BF，BECF；EBF=60，BD=BF 等【分析】 两个三角尺 ABC 和 DEF 完全相同， CBEF，CB=EF， 四边形 CBFE 是平行四边形 . 可以添加 CB=BF，BECF，EBF=60，BD=BF 等，都 能说明四边形 ABFE 是菱形 . 3. 证明：（ 1）DEAB， EDC=FBD DFAC， FDB=ECD 又BD=DC， BDFDCE （2）AB=AC A=90 ， 证明： DEAB，DFAC， 四边形 AFDE 为
6、平行四边形， B=EDC 又AB=AC， B=C， EDC=C，ED=EC 由BDFDCE 可得 FD=ECED=FD， 四边形 AFDE 为菱形 证明：同理可证四边形AFDE 为平行四边形 A=90 ， 四边形 AFDE 为矩形 4. 91 【分析】第幅图中含有1 个正方形，第幅图中含有5 个正方形；第 幅图中含有14 个正方形，所以第幅图中正方形的个数可以表示为 2 11 ，第幅图中正方形的个数可以表示为 22 512，第幅图中正方形的 个数可以表示为 222 14123，则第幅图中正方形的个数可以表示为 5 222222 12345691个正方形 . 5. n )3(【分析】如图，在菱形
7、ABCD 中，取 AC 的中点 M，连接 BM，由菱 形的性质可得 BMAC， 且BAC=30 在 RtABM 中， AB1， AM 2 3 ， AC 3；同理，在菱形 ACEF 中，可得到 AN3 2 3 ，AE3；可猜 想得其一般规律为第二个菱形边长是第一个菱形边长的3倍， 第三个菱形边 长是第二个菱形边长的3倍，因此第 n 个菱形的边长是 n )3( 6. 20 1004 55 3 2 【分析】连接AC、BD，根据菱形和矩形及三角形的中位线定 理可得矩形 A1B1C1D1的周长为 2（55 3），菱形 A2B2C2D2的周长为 20， 矩形 A3B3C3D3的周长为55 3，菱形 A4B
8、4C4D4的周长为 10， 矩形 A5B5C5D5的周长为 55 3 2 ，菱形 A4B4C4D4的周长为 5， 四边形 A2013B2013C2013D2013的周长即为第 1006 个矩形的周长， 1004 55 3 2 7. 解：（ 1）证明：取 AD 的中点 F，连接 FM FDM+DMA=BMN+DMA=90 ， FDM=BMN. BN 平分 CBE， DFM=MBN=135 又AF= AD= AB=AM=MB=DF， DFMMBN DM=MN 6 （2）结论 “ DM=MN” 仍成立 证明如下： 在 AD 上截取 AF=AM，连接 FM DF=AD-AF，MB=AB- AM，AD=
9、AB，AF=AM， DF=MB FDM+DMA=BMN+DMA=90 ， FDM=BMN 又DFM=MBN=135 ， DFMMBN DM=MN 8. 解：（ 1）四边形 EGFH 是平行四边形； 证明： ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， EO=FO，GO=HO， 四边形 EGFH 是平行四边形， （2）菱形 （3）菱形 （4）四边形 EGFH 是正方形 . 证明： AC=BD，ABCD 是矩形 . 又ACBD，ABCD 是菱形 . ABCD 是正方形， BOC=90 ，GBO=FCO=45 ，OB=OC. EFGH， GOF=90 ， BOG=COF. BOGCOF， OG=OF，GH=EF. 7 由（1）知四边形 EGFH 是平行四边形，又 EFGH，EF=GH, 四边形 EGFH 是正方形
