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1、向量中的三角形四“心”探究三角形的四“心”与平面向量有着千丝万缕的关系， 对这两者进行一定的探B、C是平面上不共线的三点，动点P满足究，有助于我们更准确把握向量的本质. 在10年全国卷里有这样一道高考题：O 是平面上一定点，A、OP- Oa jAC,-10 ,则P点的轨迹一定通过L ABC 的（）C .重心简析：本题通过考察平面向量中的单位向量与相关运算相关知识，来探究三角 形中的四“心”问题.，AN 二aM、AN是单位向量，如图1,四边形AMQ是菱形，且AQ是.BAC的角平分线.OP = OA AQ ，即AP aQ，- p点的轨迹就是射线1.0,二AQ，P点的轨迹一定通过L ABC的内心,故
2、选B.这里我们很自然地会联想：满足条件的点P的轨迹通过L ABC的内心，那么 能不能构造一个类似的向量式子，使点P的轨迹通过L ABC的外心，重心或垂心？变题1: O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三点，动点 P满足OP =AB AC ，则P点的轨迹一定通过L ABC的 （）A.外心B.内心C .重心D .垂心AP = 2 AD，/三0,： P点的轨迹就是射线AD .P点的轨迹一定通过ABC的重心,故选C.其实众所周知，在平面向量中，三角形的重心还有一个非常重要的 结论：点G为L ABC的重心的充要条件是： GA GB GC =0疋.1 -f证明：若点G是LABC的重心，。是任意
3、一点，易得o3oaOC ,当0与G重合时得GA + GB + GC=0 ;另一方面，以GC GB为边作平行四边形 GBEC贝U GB + GC = GE = -GA , A G E三点共线，可知 G必为LI ABC的重心.应用1: （2010年全国联赛）L ABC的三边长BC =a, AC =b, AB =c , G为L ABC的重心，若满足aGA bGB cG 0，贝U L ABC的形状是（）A.直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .钝角三角形T T T T T T Q简析：G为重心，则有GC二-（GA GB）代入aGA bGB cGC =0，得a -c GA b-cGB=0
4、，故 a=b=c，所以应选 C.应用2: （2010年全国联赛） 设O点在L ABC内部,且有 OA 2OB 3OC 二 0，贝此ABC的面积与L AOC的面积比为（）32A. 2C. 3简析：如图3,延长OC至F ,使OF -3OC ；延长OB至E ,使O E=2 O,B由题意知OA Oe Of=0，可知0是L AEF的重心.图3SaOE- S_EOF - S_AOF十AEF1i而 S AOBOAj|OB sin . AOB OAOE sin . AOEi同理得 sboc =6Seof1 1S AEF , S AOCS AOF18-3 -、 1所以 S|_ABC = S_abO S_boC
5、S_AOCSAEF ,故有 AOC3_ 1S-2 s_aoe1= 9Saef ,-S3A AEF变题2: O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三点,OP = OAABABC动点,所以选C.P满足ABcos/ABC通过L ABC的 (A.外心 B简析：在式子OPAB.BC内心丄匚C_BCAC cos N BCAJ（TAB1ABcos N ABCC=OAAC cos BCAABlBCcos（兀NABC ） L*|abcosZABCcos ABCACBC1 =十cos一 BCA =0AC cosBCA二 OP匚BC = oaIBcAPjC = 0 ,（如图 4）0,二，AC则P点的轨迹一
6、定垂心cos_ BCA的两边点乘BC，CPBAX图4P点的轨迹过点A且垂直于边BC,P点的轨迹一定通过L ABC的垂心，故选D.变题3: O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三点，动点 P满足AB+扎cos/ABCACcos / BCAL0:,则P点的轨迹一定通过L ABC的(A .夕卜心B .内心.重心.垂心简析：如图5,取BC边上的中点D,OB oc2=OD所以式子OB OC2cos 乙 ABC+九ABAC cosZBCA可化简成OP =ODAB|cos；ABCACACcos / BCA在式子OP = OD +九TABACcos N BCA+ABcos_ ABC的两边点乘BC
7、,cos BCA“lBCacbc“ ABcos ABC AC |DPlbC = o,P点的轨迹过边BC的中点D且垂直于边BCP点的轨迹一定通过L ABC的外心，故选A.通过前面几个变题的探究，我们看到了平面向量与三角形四 “心”的内在联 系，当然三角形四“心”在向量中的表现形式不是唯一的，我们再来欣赏其它的 向量等式：1 已知0是L ABC所在平面上的一点，若有aOA bOB cO-0，则O是L ABC的内心.简证：OB=OA ABOC =0A AC，所以题中 aOA bOB cOC=0可变为:b cbAB cAC可知,共线，即:AO是.BAC的角平分线,同理可得：BO、CO分别为.ABC、.
8、 ACB的角平分线,所以0是L ABC的内心.2.已知0是L ABC所在平面上的一点，若有=0，贝U 0是L ABC的内心.简证：由题知BC0BlIBAOJoBC所以点O是L ABC的三条角平分线的交点，即 O是L ABC的内心.3.设O为L ABC所在平面上的一点，若 0A0B=0B_0C =OC_OA，则点0为Labc的垂心.OBL OA-简证：由题得oc =0，即卩 OBJCA=o，同理可证 DclTAB=o、OABC =0，所以0为L ABC的垂心.4.设L ABC外心为0,若点M满足 OA ob doM ，则点M为垂心.2=0，简证：；OM _OA = OB oc， AM = Ob
9、oc， 而CB =0B -OC， 故AMCB=：OB OC_jObOc： jOB2_OC所以有AM _ BC，同理BM _ AC，CM _ AB，所以点M为垂心.5 .设O为L ABC所在平面上的一点，若 OA OB AB = OB - OC _BC=OC OA CA，点O为L ABC的外心.简证：由题可得 OA OB iOB -OA 二 OB，OC_OC-OB=OC OA i一 OA -OC-1 -j -j H H 所以：OB2 -OA2=OC2 - OB2=OA2 - OC2，向量的内涵是十分丰富的，本文从向量这个角度对三角形的四 “心”进行 定的总结归纳，使我们对三角形的四“心”在向量中的表现形式有了进一步的认 识，看到了它们的内在统一.平时教学中有意识地对学科中的相关知识点进行较 为系统地整理和提炼，无论在提高学生的解题能力方面还是在开拓学生视野方面 都大有裨益.
