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1、反比例函数与一次函数综合经典例题解析在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。一. 探求同一坐标系下的图象例1.已知函数y =mx与y =-在同一直角坐标系中的图象大致如图1,则下列结论正确x的是（）A. m 0, n 0B. m 0, n ：0C. m ： 0,n 0D. m ： 0,n : 0分析：由图知，一次函数y =mx中，y随x的增大而增大，所以m0 ;反比例函数y=Q x在第二、四象限，所以 n 0。观察各选项知，应选 B。评注：本题要由所给图象
2、结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。k例2.在同一直角坐标系中，函数 y=-kx+k与y= （k#0）的图象大致是（）x图2分析：本题可采用排除法。由选项 A、B的一次函数图象知，-kA0即k0,则一次函数y=-kx +k图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项 A、B都不符合要求，故都排. 一 . .一.k除；由选项 D的一次图象知，k 0, . k v 9.当kv 9且k乒0时，方程x2 6x + k= 0有两个不相等的非零实数解.- k v 9且k乒0时，两函数图象有两个公共点.(2) l y= x+ 6的图象过第一，二，四象限，0v k v 9时，双曲线两支分别在第一、三象限
3、.由此知两公共点A , B在第一象限，此时Z AOB是锐角.k V 0时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A , B分别在第二、四象限，此时/AOB是钝角.例8已知A(m, 2)是直线l与双曲线y=的交点.x(1) 求m的值；(2) 若直线l分别与x轴、y轴相交于E, F两点，并且Rt OEF(O是坐标原点)的外心为点A ,试确定直线l的解析式；，一3 ,(3) 在双曲线y=一上另取一点B作BK x轴于K;将 中的直线xl绕点A旋转后所得的直线记为l,若l与y轴的正半轴相交于点 C,I1且OC = OF .试I可在 y轴上是否存在点P,使得 S5CA= SAbok,4J1PCA1BOK若
4、存在，请求出点 P的坐标？若不存在，请说明理由.3解析：直线l与双曲线尸=一的一个父点为A(m, 2),x3一3一 = 2，艮P m= - m23- A点坐标为(一，2).2作AM x轴于M .A点是Rt OEF的外心，EA = FA .由 AM / y 轴有 OM = ME .OF = 2OM . . MA = 2, . OF = 4.- F点的坐标为(0, 4).设l: y = kx + b,则有3 4k + b= 2,k=一 一，52s 3b = 4 .b = 4.4直线l的解析式为y = x+ 4.3一 1 一 一(3) . OC = 4OF,二 OC = 1 .- C点坐标为(0,
5、1).设B点坐标为(x，y，)，贝Uxy = 3. c1, , , ,3 sabok- |xiI |y| 一 -设P点坐标为(0, y),满足， pca= S/ bOK - 当点P在C点上方时，y 1,有1 333SAPCA = ;(y 1)x ;=二(y1)=；2 242y = 3. 当点P在C点下方时，y v 1,有八13Sa pca = 2(1- y)=-. . y = 2.综上知，在y轴存在点P(0, 3)与(0, 2)，使得， pac= S/ BOK 评注:直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意:(1) 交点既在直线上也在双曲线
6、上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲 线的解析式.(2) 要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组 求出交点坐标.(3) 判断两种图象有无交点时，可用判别式确定， 也可以画出草图直观地确定.例9 如图13 32,已知C, D是双曲线y=归在第一象限内的分支x上的两点，直线 CD分别交x轴，y轴于A , B两点，设C, D的坐标分别是(x1,y)，(x2，y2),连结 oc, od.(1)求证：y1 V OC V y1 + 一 ；yii有 Z BOC = Z AOD = oc , tan a = , OC =、10 ,求直线 CD 的解3析式.证明：(1)如图13 33过点C作CG x轴，垂足为 G,则CG = y1, OG = x1 .图L3-33点C(x1,y1)在双曲线y= m上, x.在 Rt OCG 中，CG v OCv CG + OG ,5, m. . y1 v OC v
