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1、第五节 函数的微分,一、问题的提出,二、微分的定义,三、可微的条件,四、微分的几何意义,五、微分的求法,六、微分形式的不变性,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,由定义知:,三、可微的条件,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例,解,四、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),Q,五、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例1,解,例2,解,六、一阶微分形式
2、的不变性,结论：,一阶微分形式的不变性,例4,解,例3,解,例5,例6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,(C为任意常数),(C为任意常数),例7,解,在等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,练习1.,例8. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,杂例,例1,例2,例3,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,七、近似计算,的近似值 .,解: 设,取,则,例1. 求,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值 .,解:,例2. 计算,例3. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,练习1,2,八、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,练 习 题,练习题答案,
