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1、2.7 函数的微分及应用,一、问题的提出,三、微分的几何意义,二、微分的定义,四、微分的求法,五、微分的应用,返 回,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,返 回,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,返 回,由定义知:,返 回,定理,证,(1) 充分性,返 回,(2) 必要性,返 回,例1,解,返 回,（微商）,三、微分的几何意义,M,N,）,几何意义:(如图),返 回,四、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,返 回,2. 函数和、差、积、商
2、的微分法则,返 回,现在我们以乘积的微分法则为例加以证明。,其他法则都可以用类似方法证明。,返 回,3.复合函数的求导法则,与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下：,微分形式的不变性,结论：,返 回,例2,解法1,返 回,解法2 利用微分形式的不变性，得,例3,解1,解2,例4,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,返 回,例5,解,1、计算函数增量的近似值,五、微分的应用,返 回,例6,解,2、计算函数的近似值,返 回,常用近似公式,证明,返 回,例7,解,返 回,六、小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,返 回,近似计算的基本公式,返 回,
