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1、一、夹逼准则,二、单调有界收敛准则,四、小结 思考题,三、连续复利,一、夹逼准则,证,注意:,准则 I和准则 I称为夹逼准则.,例1,解,由夹逼定理得,作为准则 的应用，下面证明一个重要的极限,例2,解,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,二、单调有界准则,例3,证,(舍去),定义,作为准则的应用，可以证明一个重要的极限,类似地,例4,解,例5,解,例6,解,三、连续复利,在市场经济的环境中，金融业迅速发展,经济活动引发了一系列的贷款问题，贷款自然会带来利息问题。,最简单的利息是单利：如果你曾经在银行办理过定期存款，那么你不难理解单利，假设三年期定期存款的利率为3.5%,你存入100元，
2、那么三年后你取出来，利息是3.5%*3=10.5元。利息跟本金将一并支付给你。（这里讨论均不考虑利息税）,稍微复杂一点的是按一定期限计算利息的方式：目前我国七年期记账式国债的采用的是按年计算利息的方式，假设国债利率是3.5%，那么你买了100元国债，每经过一年，便支付3.5元的利息，到最后一年一并支付最后一次利息和本金。 乍看起来似乎一样，但是明眼人一下子就可以发现，后者的收益比前者高。因为后者的利息是按年支付的，当先收得利息之后，立刻就可以把利息拿来再次投资。投资之后仍然会产生利息。于是加起来，总收益比前者要高。,这样就产生了复利的计算方法，（我国民间叫“利滚利”），比如按10年放出6%利息
3、的贷款，按年计算复利，那么对于每一元前，第一年末得到1+0.06，第二年末得到 (1+0.06) (1+0.06), 第三年末总共得到 (1+0.06) (1+0.06) (1+0.06), 按这个公式计算，可以看到按6%这个利息率，按年收复利的话，十年前的1元钱会变成10年后的1.79元。,复利的概念,复利的神奇魔力,有A、B兩个人都是25岁，都做了一年1,000元的投资，假设回报率是18%。一年后，A拿投资所赚到的利息180元去买了喜欢的东西；而B则选择将这180元利息加入到1,000元的本金里继续投资，这样B总共投资了1,180元。如果A继续把每年的利息花掉，而B则继续拿利息再投资，回报
4、率仍在18%，那么以下就是他们未来的金钱图表,复利是从“小钱”开始起，这是成大事者常用的手段。而有一些人一心想发财，結果大钱小钱都赚不到。所以一开始就把眼光放远，用复利来再投资，那么你的钱就会像雪球一样越滚越大了。 1996年被美国财富杂志评定为美国第二大富豪的巴菲特，他也是“以小钱”起家的典型。他11岁就开始投资了第一张股票，把他和姐姐的一点小钱都投入股市，开始陪钱，但他经历几十年坚持不懈才迎來了今天的辉煌。纵观一些富人的成功之路，他們都是从小事做起，从小钱赚起，积少成多，积少成大，就如同复利再投资一样，时间久了，小钱也会变成大钱的。,四、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则; 单
5、调有界准则 .,思考题,有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对. 而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？并求出许多年后，兔子总对数的月增长率.,解 若用“”、“”分别表示一对未成年和成年的兔子，则根据题设有下面的小兔繁殖数量图：,从上图可看出, 从三月份开始, 每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和. 按此,规律可写出数列：,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,可见一年后共有兔子233对.,按上述规律写出的无限项数列为著名的斐波那契(Fibonacci)数列, 其通项为,且此数列有递推关系：,第n月的兔子对数的增长率,存在的证明及求法如下：,证,用数学归纳法容易证明：,是有界的.,根据“单调有界数列必有极限”的准则可知数,列 和 的极限存在, 分别记作b*和b* , 即,两式相减，得,解上方程，得 ，因为 故,即,从而,故许多年后兔子的总对数均以每月61.8%的速率增长.,思考题,求极限,思考题解答,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,
