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1、Reduction of Order,12.6 可降阶的高阶微分方程,二阶微分方程的一般形式：,或,通解：,n 阶微分方程的一般形式：,或,通解：,这种 n 阶方程可以通过 n 次积分求出通解：,降为 n-1 阶方程,再积分，又降为 n-2 阶方程,例,解三阶方程：,解,积分,再积分,再积分,通解,两类特殊的二阶微分方程,二、特殊的二阶微分方程,不显含 y,二阶微分方程的一般形式：,特殊的二阶微分方程：,不显含 y,用降阶法,令,则,原方程化为：,p 的一阶方程,Reduction of Order,设,得,一阶方程,通解：,例,解二阶方程：,解,方程缺 y，用降阶法,令,则,原方程化为：,设
2、 p 0,得：,p 的一阶方程 可分离变量,得：,一阶方程,积分，得通解：,三、特殊的二阶微分方程,不显含 x,二阶微分方程：,不显含 x,用降阶法,令,则,原方程化为：,有三个变量？ 没法解呀！,再来,原方程化为：,p 和 y 的一阶方程,已经降阶 以下的事情就好办了,例,解二阶方程：,解,方程缺 x，用降阶法,令,则,原方程化为：,设,得：,p 的一阶方程 可分离变量,得：,一阶方程,分离变量：,通解,例 4,悬链线,Catenary,http:/teachers.sduhsd.k12.ca.us/abrown/Activities/Matching/answers/catenary.ht
3、m,A catenary is the curve of a hanging chain.,特点：张力全在切线方向,Catenary,http:/teachers.sduhsd.k12.ca.us/abrown/Activities/Matching/answers/catenary.htm,The Gateway Arch in St. Louis, Missouri is an inverted catenary,特点：压力全在切线方向,例 4,悬链线,Catenary,建立坐标系 设 A(0, a),设曲线方程：y = y(x),设 M(x, y) 是曲线上任意一点,设 s 是弧段 AM
4、 的弧长 绳子的密度： 弧段 AM 的重量： sg,弧段 AM 的受力分析：,(1) 重力（向下）：F = sg,(2) 张力：T = Tx, Ty,(3) 张力（向左）：H,特点：张力全在切线方向,因为弧段 AM处于静止状态， 外力的合力为零： FTy HTx,求导：,二阶方程,令,则,或,悬链线,with(plots):a:=1: p1:=plot(exp(x/a)+exp(-x/a)*a/2,x=-2.2,thickness=2): p2:=plot(exp(x/a)+exp(-x/a)*a/2,x=0.1,thickness=5,color=blue): display(p1,p2,tickmarks=0,0,view=-2.2,0.4);,习题 （可降阶的高阶方程）,
