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1、,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,多元复合函数的求导法则,第九章,一、多元复合函数求导的链式法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u ,v ,( 全导数公式 ),(t0 时,根式前加“”号),推广:,1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .,2) 中间变量是多元函数的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,口诀 :,分段用乘,
2、分叉用加, 单路全导, 叉路偏导,与,不同,例1. 设,解:,例2.,解:,例3. 设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见 , 引入记号,例4. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,例5. 设,二阶偏导数连续,求下列表达式在,解: 已知,极坐标系下的形式,(1), 则,已知,注意利用 已有公式,同理可得,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,例1 .,例 6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,内容小结,1. 复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2. 全微分形式不变性,不论 u , v 是自变量还是中间变量,思考与练习,解答提示:,P82 题7,P82 题7; 8(2); P131 题11,P83 题8(2),作业 P82 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13,P131题 11,备用题,1. 已知,求,解: 由,两边对 x 求导, 得,2.,求,解: 由题设,(2001考研),
