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1、1,定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种适用的简便方,6.5定积分的应用,本章介绍它在,分析和解决实际问题的能力.,法-,2,问题的提出,小结 思考题,第一节 定积分的元素法,第六章 定积分的应用,(微元法),3,究竟哪些量可用定积分来计算呢。,首先讨论这个问题。,结合曲边梯形面积的计算,?,可知，,用定积分计算的量,应具有如下,及定积分的定义,许多部分区间，,(即把a, b分成,两个特点:,(1) 所求量I 与a, b有关；,(2) I 在a, b上具有可加性,则I 相应地分成许多部分量，,而I 等于所有部分量之和)。,5,这种简化了的建立积分式的方法称为,元素法或微元法.,方法,简
2、化步骤,6,这个小区间上所,对应的小曲边梯形面积,面积元素,得,曲边梯形面积的积分式也可以用元素法。,地等于长为f(x)、宽为dx 的,小矩形面积,故有,近似,7,二、平面图形的面积,回忆,的几何意义:,曲边梯形的面积.,启示,一般曲线围成区域的面积也可以,用定积分来计算.,定积分,下面曲线均假定是连续曲线.,8,求这两条曲线,及直线,所围成的区域的,面积A.,的面积元素dA为,它对应,(1),即,1.直角坐标系中图形的面积,小区间,由上、下两曲线,及,所围成的图形面积为：,Y 向穿线,例3 求曲线y=lnx, x=2及x 轴所围成的平面图形的面积。,解,如图所示,解,所求面积为,解 如图所示
3、, 所求面积为,练习,12,例,解,画草图,求两曲线交点的坐标以便,解方程组:,交点,面积元素,选 为积分变量,?,确定积分限,14,例,解,两曲线交点为,由于图形关于y轴对称,故,解,两曲线的交点,于是所求面积,说明： 注意各积分区间上被积函数的形式,17,(2),由曲线,和直线,所围成的区域的,面积A.,的面积元素dA为,它对应,小区间,由左右两曲线,及,围成的平面图形的面积为：,3.,X 向穿线,解题的一般步骤：,1、试做穿线，以确定积分变量；,2、确定积分区间，即所取积分变量的取值范围；,3、写出积分，得结果。,例3 求曲线y=lnx, x=2及x 轴所围成的平面图形的面积。,解法2：
4、,解,得交点:,解方程组:,以y为积分变量，所求的面积为,注：本题若以x为积分变量，,所求的面积为,取x为积分变量，积分区间为,解,解方程组,故所求面积为：,Y 向穿线,另解,取y为积分变量，,故所求面积为:,积分区间为,X 向穿线,教学目的和要求,掌握用微元法计算旋转体的体积,三、旋转体的体积,教学重点：计算旋转体的体积,教学难点：体积微元的选取。,旋转体的体积,二、体积,a,b,体积元素:,旋转体的体积为,五、例题解析 例1、计算直线 y=k x (k0), 直线x=3, 及x轴围成,半径3k高为3 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积 .,一个直角三角形.,积分旋转体的体积,取体积微元:,将它
5、绕 x 轴旋转一周构成一个底,1、计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,成的椭球体的体积,解:,体积微元为,得旋转椭球体的体积为,星形线,例7 求星形线,旋转体的体积。,绕 x 轴旋转而成的,解,所求体积为：,同理，,例11,解,2,y,y+dy,(2,4),练习,寻找体积微元是解决这一问题关键， 根据四种类型找体积微元，从而解 决相关问题,七、小结,四 定积分的物理应用,一、变力沿直线作功,二、液体对薄板的侧压力,第五章,三、引力 (自学),设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 。,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x) 在区
6、间,上所作的功为,一、变力沿直线作功,例1. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹簧的伸长量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常数),如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。,解：,当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx,于是外力做功元素 dW= kxdx,而弹簧拉伸6cm，,从而,例2.直径为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为 10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体 积缩小一半，问需要做多少功？,解：建立坐标系如图所示，因为温度不变，,当圆柱体的高减少xcm时的压强为,是定值。,解:,则木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例
7、3. 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1cm，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？,设n次击入的总深度为h厘米,n次锤击所作的总功为,假如钉子钉入木板的深度为xcm,而每次锤击所作的功相等,所以n次击入的总深度为,第n次击入的深度为,例4.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐标系如图。,任取一小区间,这薄层水的体积元素,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,( kJ ),设水的密度为,一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,作多少功 ?,内盛满了水,试问要将容器内的水全
8、部吸出需,例5. 有一半径为 4 米开口向上的半球形容器, 容器,解: 取坐标原点在球心, x轴垂直向下建立坐标系,例6. 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球 的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？,相应于区间x，x+dx的球体中的薄片(球台)的体积约为,当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的路程为R+x，,解：建立坐标系如图所示。,克服重力做功为,由于球的比重与水相同，,球的这一部分的由x提升到水面不做功。,奇函数,二、液体对薄板的侧压力,压力=压强受力面积,= g h受力面积,例7., 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力。,解: 建立坐标系如图.,所论半圆的,方
9、程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,小窄条上各点的压强,利用对称性 , 侧压力元素,端面所受侧压力为,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,例8. 有等腰梯形水闸, 上底长10m, 下底6m, 高20m。 试求当水面与上底相齐时, 闸门一侧所受的水压力。,解：建立坐标系如图所示。,直线AB的方程为,闸门上对应于区间x，x+dx,窄条形所受的压力约为,例10. 有等腰梯形水闸, 上底长6m, 下底2m, 高10m。 试求当水面位于上底下2 m时, 闸门所受的水压力。,解：建立坐标系如图所示。,直线AB的方程为,闸门上对应于区间x，x+
10、dx,窄条形所受的压力约为,例11. 设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行 于水面且离水面的距离为h，求闸门所受的压力。,解：建立坐标系如图所示。,椭圆的方程为,于是窄条所受的水压力约为,y,由题设，h b,在y轴任取区间 y，y+dy,椭圆板上对应窄条的面积的近似值为2xdy,则所求水压力为,奇函数,例. 设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满 水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？,解：,任取一小区间x, x+dx，,则直线AB的方程为,建立坐标系如图所示。,这薄层水的体积元素为,把这一部分水吸出所需做的功元素为,例. 一底为10cm, 高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地 沉入水中
11、,顶在上,底边在下且与水面平行,而顶离 水面3cm时, 试求它的一个侧面所受的水压力。,解：建立坐标系如图所示。,直线AB的方程为,1、胰岛素平均浓度的测定,例6、 由实验测定病人的胰岛素浓度，先让病人禁食，以降低体内血糖水平，然后通过注射给病人大量的糖。假定由实验测得病人的血液中的胰岛素的浓度C(t)(单位/ml)为,其中 , 时间 t 的单位是分钟，求血液中的胰岛素在一小时内的平均浓度C(t) （判断患者是否患有糖尿病）,2、染料稀释法确定心输出量,例7、 心输出量是指每分钟心脏泵出的血量，在生理学实验中常用染料稀释法来测定。把一定量的染料注入静脉，染料将随血液循环通过心脏到达肺部，再返回心脏而进入动脉系统。,假定在时刻 t=0 时注入 5mg的染料，自染料注入后便开始在外周动脉中连续 30 秒监测血液中染料的浓度，它是时间的函数C(t):,3、脉管稳定流动时血流量的测定,其中 为血液粘滞系数 求单位时间流过该横载面流量Q（血液流速和横截面的乘积）,例8、设有半径为R，长为L的一段刚性血管，两端的血压分别为 和 ，已知在血管的横载面上离血管中心 r 处的血流速度:,R,r,r+dr,R,
