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1、3.2独立性检验的 基本思想及其初步应用（一）,独立性检验,本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。,在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：,例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。,为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）,说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。,0.54%,2.28%,探究,一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(即22列联表)为： (其中n 为样本容量),abcd,三维柱形图,二维条形图,在三
2、维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与 副对角线上两个柱形高度的乘积相差越大， 两个分类变量有关系的可能性就越大,.等高条形图 等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否互相影响 常用等高条形图展示列联表数据的频率特征,等高条形图,等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。,某企业为了考察同一种产品在甲、乙两条生产线的产品合格率，同时各抽取100件产品，其中甲线中合格产品的个数为97，乙线中合格产品的个数为95。请做出列联表，三维柱形图与二维条形图。,练习,122列联表是传统的调查研究中最常用的方法之一，用于研究两个变量之间相互独立还是存在某种关联性，它适用于分析两个变
3、量之间的关系 2在实际问题中，判断两个分类变量的关系的可靠性时，一般利用随机变量K2来确定，而不利用三维柱形图和二维条形图,上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。,现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”， 为此先假设,H0：吸烟与患肺癌没有关系.,把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表,用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).,因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|
4、越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。,在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有,为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-卡方统计量,（1）,若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。,根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：,那么这个值到底能告诉我们什么呢？,（2）,独立性检验,k大小的标准是什么呢？,独立性检验 首先，假设结论不成立，即 H ：两个分类变量没有关系 （在这种假设下k应该很小） 其次，由观测数据计算K 的观测值k， （
5、如果k很大，则在一定可信程度上说明H 不成立,即两个分类变量之间有关系） 最后，根据k的值判断假设是否成立,2,临界值表：,这种判断可能有错误，但是犯错误的不会超过0.001，这是个小概率时间，我们有99.9%的把握认为“吸烟与患癌症有关系”,利用随机变量K2来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验,在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ） A、若K的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99个患肺病 B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，
6、那么他有99%的可能患肺病 C、若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推理出现错误 D、以上三种说法都不对,练习,c,例2某电视台联合相关报社对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表所示： 根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为对这一问题的看法与性别有关系？(P(K210.828)0.001),解析假设H0：“对这一问题的看法与性别无关”， 由列联表中的数据，可以得到： 125.16110.828 又P(K210.828)0.001，,故在犯错误概率不超过0.001的前提下认为对“男女同龄退休”这一问题的看法与性
7、别有关,点评可以利用独立性检验来判断两个分类变量是否有关系，具体做法是：,5月31日是“世界无烟日”，2009年的主题是“让肺自由呼吸”为探究患肺癌是否与吸烟有关，某校研究性学习小组调查了1339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：,试问：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为50岁以上的人患肺癌与吸烟有关系？,解析依题意可知： 6.635， 又P(K26.635)0.01， 因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关.,例3为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下，问铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别？
8、,解析由上述列联表可知，在铅中毒病人中尿棕色素为阳性的占80.56%，而对照组仅占24.32%.说明他们之间有较大差别,根据列联表作出三维柱形图(如图1)，二维条形图(如图2)，频率分布条形图(如图3所示)，由上述三图可知，铅中毒病人中与对照组相比较，尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在关联关系,某学校对学生课外活动内容进行调查，结果整理成下表： 利用图形判断学生课外活动的类别与性别是否有关系？,解析某等高条形图如图所示 由图可以直观地看出喜欢体育还是喜欢文娱在性别上有较大差异，说明课外活动的类别与性别在某种程度上有关系,练习： 1调查男女学生购买食品时是否看出厂日期与性
9、别有无关系时，最有说服力的是 () A期望B方差 C正态分布 D独立性检验 答案D,210名学生在一次数学考试中的成绩如下表： 要研究这10名学生成绩的平均情况，则最能说明问题的是() A概率 B期望 C方差 D独立性检验 答案B,练习：3.下面是一个22列联表 则表中a、b处的值分别为() A94、96 B52、50 C52、59 D54、52 答案C,4用K2统计量进行独立性检验时，使用的表称为_，要求表中的四个数据_ 答案22列联表均大于5,5若两个分类变量x和y的列联表为： 则x与y之间有关系的概率约为_ 答案99%,6为调查学生对国家大事关心与否是否与性别有关，在学生中进行随机抽样调
10、查，结果如下表，根据统计数据作出合适的判断分析.,点评根据随机变量K2的值判断两分类变量是否有关的步骤：第一，假设两分类变量无关，第二，由数据及公式计算K2的观测值k，第三，将k的值与临界值比较得出结论,思考： 利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中看出两个分类变量是否相关呢？,表1-11 2x2联表,一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表（称为2x2列联表）为：,若要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”，可以按如下步骤判断H1成立的可能性：,2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。,1、
11、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。 （1）在三维柱形图中， 主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上两个柱形高度的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大。 （2）在二维条形图中,可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例 ，也可以估计满足条件X=x2 的个体中具有Y=y1的个体所占的比例 。两个比例相差越大，H1成立的可能性就越大。,在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：,具体作法是：,(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值 ； (2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量 的观测值； (3)如果 ，就以 的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。,
