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二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,特点,未知函数及其各阶导数都是一次幂,高阶线性微分方程,本节只讨论二阶线性微分方程,所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形,一、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解,解的叠加原理,的特解,则,即,特解的实部是实部方程的特解,特解的虚部是虚部方程的特解,定理5,二、降阶法与常数变易法,1.齐次线性方程求线性无关特解-降阶法,代入(1)式, 得,则有,的一阶方程,降阶法,解得,Liouville公式,齐次方程通解为,2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),(5),(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,例,解,对应齐方程一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,补充内容,可观察出一个特解,特解 y = 1,特解 y = xm,三、小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法；,练 习 题,练习题答案,
