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1、第四节 函数项级数,设,为定义在区间 D上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ，记作X.,若常数项级数,为定义在区间 D 上的函数, 称,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,为级数的和函数 , 并写成,在收敛域 x上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,例如, 等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,有和函数,解,例1,考察如下函数项级数的收敛域与和函数.,级数的收敛域为（-1，1，和函数为,问题,1.函数序列与函数项级数的一致收敛性,为函数序列的极限函数。即,如上收敛概念也称为逐点收敛，对于函数序列或函数级数而言，
2、更重要的是如下一致收敛概念。,定义：,显然, 在集合X 上,一致收敛于极限函数 f(x),部分和序列,一致收敛于f(x),余项,一致收敛于 0,几何解释:,证,因此对于给定的对任意的自然数 都有,这也就是说，无法找到自然数，使得当时,对区间 中一切点成立.,因此选取,这就证明了 在一致收敛.,例3 讨论下列函数序列在所给区间上是否一致收敛.,解,命题1,命题2,例4,解,问题的回答是否定的.,事实上，令,于是根据命题3，,定义,即函数项级数在给定区间的一致收敛，是用级数前n项部分和序列在相同区间的一致收敛来定义。,则它,也在 上收敛，但是，反过来不一定成立 .,于是有,2.函数项级数一致收敛的
3、必要条件与判别法,定理1,证明,例,解,定理2 （关于函数级数一致收敛的柯西准则）,证 必要性,则有,充分性,其中 是任意自然数.根据数项级数的柯西收敛原理，级 数 在 上点点收敛.设 是 的和函数，,是其部分和，那么上述不等式可以写成,则有,定理3 强级数判别法(Weierstrass判别法，M判别法),一致收敛性简便的判别法：,证明：,由定理2即知证明完成。,例5,解,由M判别法知所讨论级数在R一致收敛.,强级数判别法只适用于判别绝对且一致收敛的级数，对非绝对收敛的级数并不适用，故还需要有判别非绝对收敛的级数是否一致收敛的判别法。为此引出如下概念。,定义,例,定理4（Dirichlet 判别法）,定理（Abel 判别法）,例8：,证明：,故由Abel 判别法，所证级数在给定区间一致收敛。,3,一致收敛级数的性质,定理6(和函数的连续性）,证明：,(1),(2),同样有,(3),由(1)、(2)、(3)可见,证毕,推论：,设 是一区间（开或闭或半开半闭）,例9,解,定理7（级数逐项积分）,(4),证明,根据极限定义，有,即,定理8（级数逐项求导数）,(5),解,两边积分得,级数收敛域为(-1, 1),
