《10-3高等数学下第十章第三节格林公式及其应用复习知识分享》由会员分享，可在线阅读，更多相关《10-3高等数学下第十章第三节格林公式及其应用复习知识分享（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 格林公式及其应用,一、区域的连通性及区域边界的方向,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。,复连通区域,单连通区域,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时，区域D总在他的左边。,证明 (1) 区域D既是X 型又是Y 型，即平行于坐标轴穿过D内部的直线与D的边界L 恰好交于两点，这样D可表示为下面的两种形式：,同理可证,(2) 若区域D不符合(1)的要求，则可将 D 分成若干个符合要求的小区域。如图,两式相加得,将D分成三个既是X型又是,Y型的小区域D1, D2 , D3 ，则,说明：1. 格林公式的实质:,沟通了沿闭曲线的积分与
2、二重积分之间的联系。,2. 便于记忆的形式,3. 格林公式对于复连通区域也成立(证明(2)含有这种情形)，但应注意：外面的边界方向逆时针，里面的边界方向顺时针。,设平面区域D的边界曲线L，则其面积,三、应用举例,1. 用曲线积分表示平面区域的面积,( P=0 , Q=x ),( P=y , Q=0 ),例1 (P174),解,L ：x=acos , y=bsin , a b,2. 计算二重积分,解 令P = 0 , Q = , 则,D,L,4. 计算非封闭曲线上的曲线积分,3. 计算闭曲线上的曲线积分(P172例2),解 引入闭曲线,例3 计算 , 其中积分曲线是半径为r 的圆在第一象限的部分
3、(如图)。,解,5. 偏导数在区域内有不连续点,例4(P146) 计算 ，其中L为一条无重点，分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。,O,(1) 当(0 , 0) D 时，,(2) 当(0 , 0) D 时，,由格林公式,作位于D内的小圆周l :,把 L和 l 围成的闭区域记作D1，应用格林公式得( l 逆时针方向),x,y,(注意格林公式的条件),O,小结：,计算第二类曲线积分时，如果被积函,数或曲线L的方程较复杂，应首先考虑使用格林公式。,若L不是闭曲线，可适当添加曲线(通常是 直线段)使之与L 构成闭曲线，再用格林式。,点P0 , 应选取适当的闭曲线(通常是以P0为中,
4、心的小圆)将点P0从D内挖去，再在剩余的区 域上应用格林公式。,四、平面曲线积分与路径无关的条件,B,A,如果对于区域G内任意两点A、B及G内从A到B的任意两条曲线L1、L2 , 等式,1 定义：,2.曲线积分与路径无关的条件,在G内与路径无关(或沿G内任意闭,曲线的曲线积分为零)的充要条件是：在G内恒成立等式,D,充分性 在G内任取两点A、B 并任取两条,从A到B的光滑曲线L1、L2 ，把,L1、L2围成的区域记作D，则,必要性,取正向，有,矛盾。,对于含于G内的圆 L：,因 Qx Py 在点 (x0 , y0) 连续，故 r 0 , 当,说明：1. 在定理的条件下，在G内下列结论等价：,(
5、1) G是单连通区域是为了保证G内 的任意闭曲线围成的区域 D G ； (2) P、Q有一阶连续偏导数是为了应用格林公式。,(1) 与路径无关；,(2) 对于G内任一闭曲线C， ；,(3),2. 定理的两个条件缺一不可：,例6 求 ，L为抛物线 y = x2 1上从点,解 令,所以积分与路径无关。选择如图所示的路径：,A(1 , 0)到点B(2 , 3)的一段弧。,AA1+A1B+B1B，则,说明： 本题不能选用图中虚线所示的路径。一般地，利用积分与路径无关简化计算时，通常选用直线段或折线段，但要特别注意：所选线段与原曲线所围成的区域内，Py、Qx一定要连续。,五、二元函数的全微分,证明 必要
6、性,微分的充要条件是：在G内恒成立等式,P(x , y)dx+Q(x , y)dy 在G内为某函数u(x , y)的全,充分性 任取,而Py、Qx连续，即uxy、uyx,连续，故 uxy= uyx=Py=Qx。,因积分与路径无关，故,在G 内定义了一个单值的二元函数。,u(x+x, y) u(x, y)=,其中 0 1。,同理,这样证明了du=P(x , y)dx+Q(x , y)dy 。,求 u(x, y)的方法,.,.,M(x, y),在区域G内选定一点M0(x0 , y0),并任取一点M(x, y)，沿平行于坐标轴从M0到M的折线L1或L2计算曲线积分,得,或,注：,由于,常数。,例 7
7、 (P151) 验证：,某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。,解,取积分路径如图所示，得：,注：本题的初始点不能选择为(0,0)。,例8 选择a、b使(x+ay)dx+(xbx2+y)dy为某,函数u(x, y)的全微分，并求u(x, y)。,解 令P=x+ay，Q=xbx2+y。,为使Pdx+Qdy是u(x, y)的全微分，必须,Py= a = Qx = 12bx , 于是,a=1，b=0，P=Q=x+y。,u(x, y) =,因 ux= P = x + y，故有,而 uy= x + c (y) = Q = x + y，得c (y) = y，,解,例9 设曲线积分 与路径无关,其中 函数
8、 (x) 具有连续导数, 且 (0) = 0 , 计算,曲线积分,P(x , y) = xy2 , Q(x , y) = y(x) .,因积分与路径无关， 得,习题(P153)：3，4(1)，5(1) (3)， 6(2)(5)，7,y (x) = 2x y , (x) = x2+c ,由 (0) = 0 得 c = 0 , 从而(x) = x2 。,六、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等 价 命 题,1. 计算,的上半圆周由A(2a,0)到O(0,0)与,的上半圆周由O(0,0)到B(a,0) 连成的曲线AOB.,2. 计算,方向。,解,例2 求曲线 (x+y)2 = ax (a0) 与x 轴所围图形的面积。,ONA为直线 y = 0，,曲线AMO为, x0 , 1,
