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1、1,第九章 联合保险,2,联合生存状态,联合生存状态(joint-life status)是以投保集团中每个成员都存活为状态生存，以集团中的第一个发生死亡为状态死亡的状态。设联合投保集团是由年龄分别为 x1 , x2 , , xm 的m 个个体组成，其联合生存状态表示为(x1,x2 , , xm)。 在独立性假设下，联合生存状态(xy)至少“存活”到时间t 的概率t pxy满足,对F T(t) 关于t 求导，可得T 的概率密度函数,3,联合生存状态,在独立性假设下，时间t 状况(xy)的“死亡”力以xy(t) 表示 在第k 个整数年中，联合生存状况(xy)的“死亡”概率为 联合生存状况(x+k
2、:y+k)在一年内“死亡”的概率可用个体死亡概率写成 联合生存状况(xy)在第k+1 年死亡的概率为,5,最后生存状况,6,联合状态余寿随机变量期望值,对于一般状况（u），其余寿T=T(u)，根据余寿均值的定义，有， 如（u）是联合生存状况（xy），则 对最后生存状况，则有 可以得到以下关系,7,联合状态下的精算现值,对于一般状态（u），寿险现值A u是状况（u）的整值余寿变量K=K(u)在K +1年末赔付的精算现值。 对于在状况（u）“死亡”时赔付1 单位元的保险，保单生效时的现值随机变量和趸缴净保费分别为， 具体地，对于联合生存状况(xy)，有 由独立性假设，上式可写成,8,联合状态下的精
3、算现值,对于每年连续支付1 单位直至状况（u）“死亡”的生存年金，有 对于联合生存状况(xy)，即只有在两人同时存活时才支付年金，有,9,最后生存状况与联合生存状况,10,特殊死亡分布律下的计算 Gompertz,假定组成联合投保集团成员的死亡率符合Gompertz 死亡变动规律， 即 , i= 1,2, ,m。设某单生命状况(w)的死亡力与联合生存状况(x1,x2, , xm) 的死亡力相同，即,11,Makeham 死亡律为x =A+BCx 。此时，联合生存状况的死亡力为， 设由m个年龄均为w的人组成的联合生存状态(www)的死亡力与 x1x2xm 相等，即，,特殊死亡分布律下的计算 Ma
4、keham,12,条件联合状态概率,表示在n 年内(x)第一个死亡的概率，x 上面的1 表示(x)的死亡事件发生在(y)之前，n 表示事件发生在n 年内。 等于与T(y)联合概率密度函数的一个二重积分，积分区域相当于T(x) T(y)且T(x) n。在T(x)与T(y)独立的假设下，有,13,条件联合状态概率,表示(y)的死亡事件发生在n 年内并且在(x)之后的概率，该二重积分的积分区域为0T(x)T(y)n ，假设T(x)与T(y)独立,14,在Gompertz 死亡律下的估计,当(x)在(y)之前死亡时，陪付1单位保险金的n 年期条件保险的趸缴净保费为，,15,在Makeham 死亡律下的估计,在Makeham 死亡律下，当(x)在(y)之前死亡时，陪付1单位保险金的n 年期条件保险的趸缴净保费为，,
