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1、第八章,第七节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线和法平面,二、曲面的切平面和法线,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,限位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极,法平面.,点击图中任意点动画开始或暂停,设空间曲线的参数方程为,设 (1) 式中的三个函数均可导，,情形1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线在 M 处的切线方程,曲线在 M 处的切向量,法平面：过 M 点且与切线垂直的平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊地,如果空间曲线方程为,法平面
2、方程为,切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切向量为,解,切线方程,法平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间曲线方程为,情形2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法平面方程为,切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用公式，所求切向量为,则所求切线方程为,法平面方程为,解：,二、曲面的切平面与法线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设曲面方程为,情形1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在曲面 S 上任取一条通过点 M0 的曲线 L ，,均可导，,并设式中的三个函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此式表
3、明，向量,与曲线在 M0 处的切向量,切平面方程为,法线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊地：如果空间曲面方程形为,曲面在 M0 处的切平面方程为,曲面在 M0 处的法线方程为,令,曲面在 M0 处的法向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,令,切平面方程,法线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 因此有,设曲面方程为,情形2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回
4、结束,解:,所求切平面方程为：,所求法线方程为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P,Q,M,N,x, y,A,B,dz=AB : 切面z坐标的增量,z= f (x ,y), z =AN ：曲面z坐标的增量,过点M的切平面：,即：,dz,z,=AB+BN,.,dz,=AB,用切面z坐标的增量近似曲面z坐标的增量,dz,三. 全微分的几何意义,复习一元函数微分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切平面上点的 z 坐标的增量,因为曲面在 M0 处的切平面方程为,全微分的几何意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明： 曲面,上任一点处的切平面都通过原点。,证明：在曲面上任意取一点,则通过
5、此点的切平面为,例6：设 f ( u ) 可微，,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,又,代入切平面方程得,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,上任一点处的切平面都通过原点。,例7：证明曲面,平面恒与定直线平行，,证明：曲面上任一点的法向量为,取定直线的方向向量为,则,(定向量),的所有切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故结论成立 .,四、向量函数简介,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、向量函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2：,定义4（可导性）：,如果极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导，其导数为,存在，,定理 3：,定理 4：,机动 目录 上页 下页 返
6、回 结束,定义5（向量函数的积分）：,2、空间曲线的向量表示,处的导向量,就是该点的切向量.,引进向量函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设空间曲线的参数方程为:,3、向量函数的物理应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 空间曲线的切线与法平面,1) 参数方程,切向量,四、内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切向量,2) 一般方程,1) 隐函数方程,法向量,2. 空间曲面的切平面与法线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 显函数方程,法向量,3) 参数方程,法向量,作业,习题7-7(P108) 5，8，10，12，14,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习
7、,1、设,方程,是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,确定 u,1、 如果平面,与椭球面,相切，,解: 设切点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),备用题,解,切平面方程为,法线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,由题意：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切线与法平面.,4、求曲线,在点(1,1,1) 的,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5、 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点
8、切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,在点,解:,M (1,1,1) 处切线的方向向量,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足曲面方程,则切平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入曲面方程解得,M,N,.,f (x),dy,x,微分是函数的局部线性化,.,用切线增量近似曲线增量,dy,dy =,在图上是哪条线段？,= tan x,复习一元函数微分,即：,.,y,微分的几何意义,返回原页,
