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1、系统是研究的对象，模型是系统行为特性的描述，仿真是模型试验。,仿真结果是否可信，一方面取决于模型对系统行为特性描述的正确性和准确度，另一方面取决于计算机模型和物理模型实现系统模型的准确度。,因此，系统建模是系统仿真的基础。,本课程主要讨论连续系统仿真问题，由此本章主要介绍连续系统的数学模型及其MATLAB中的表示方法。,第2章控制系统数学模型及其转换,建立系统的数学模型主要有两种方法：,1、机理建模：根据物理化学规律，列写系统各个变量之间相互关系的微分方程，进行整理、变换，得到所需要的数学模型表示方式。,最常见的表示方式有：,高阶常微分方程、状态方程、传递函数等。,过程控制系统、调速系统等都是
2、确定型的连续系统，它们共同之处是系统状态变化在时间上是连续的，可以用方程式描述系统模型。,2、试验建模（系统辨识）：采用试验的方法对系统施加一定的试验信号，测量系统的输入输出，并对这些输入输出数据进行分析处理，求出一种数学表示方式，如果能较好地描述这些输入输出数据之间的关系，则该数学描述就是系统的数学模型。,一、连续时间系统模型,如果一个系统的输入量 U(t) ，输出量Y(t) 系统内部状态变量 X(t)都是时间的连续函数，那么就可以用连续时间模型来描述它。,连续时间模型有以下几种表达方式：,外部模型,微分方程,传递函数,内部模型,状态空间表达式,系统结构图,1、外部模型微分方程,一般情况下，
3、系统的微分方程可以表示如下：,微分方程和传递函数都只描述了系统输出与输入之间的关系，而没有描述系统内部的情况，所以称之为外部模型。,式中， 是输入量， 是输出量，且有,（1）,建立系统微分方程形式数学模型的一般步骤：,1、根据物理规律列写原始的微分方程；,根据物理规律，列写出系统的微分方程，这是机理建模的最基本方法。,2、保留输入量、输出量及其导数项，消去中间变量，将所有原始微分方程合并为一个高阶微分方程。系统的阶次就等于微分方程的阶次。,微分方程的物理意义明显，求其解可得相应的时域准确解，但求解高阶微分方程非常困难，不便于系统的分析与设计。,2、外部模型传递函数,若系统的初始条件为零，那么,
4、为系统的传递函数,定义,两边取拉氏变换后可得：,传递函数的主要性质：,1、只用于线性、定常和集中参数系统；,2、传递函数只与系统的结构参数有关，与系统的变量无关；,3、传递函数是S的有理函数，分母的阶次大于分子的阶次；,4、U(S)是系统的特征多项式， U(S)=0是特征方程。特征多项式的阶次就是系统的阶次，特征方程的根决定了系统的很多重要性质；,5、传递函数的概念可推广到MIMO。,MATLAB的控制工具箱是MATLAB最早的工具箱之一，也是控制系统的计算机辅助设计中最为流行的设计工具。控制工具箱适用于线性时不变系统(LTI)，可实现线性系统时域或频域的分析、设计和建模。可处理连续系统，也可
5、处理离散系统；可使用经典或现代控制技术。 MATLAB只处理矩阵这一种数学形式，各种控制系统的描述必须使用矩阵来表达。,MATLAB中传递函数的描述方法,传递函数有三种常用形式： （1）一般形式,（2）零极点增益形式,（3）部分分式形式,（1）传递函数的一般形式,传递函数用分子、分母多项式表示，即num和den两个向量 num=bm bm-1 b1 b0,den=1 an-1 a1 a0 还可用SYS = TF(NUM,DEN)建立tf对象模型。,num=1 2 3; den=2 2 3 4; yy=tf(num,den),Transfer function: s2 + 2 s + 3 - 2
6、 s3 + 2 s2 + 3 s + 4,例1 利用多项式乘法函数,num=4*conv(1 2,1 6 6) den=conv(1 0,conv(1 1,conv(1 1,conv(1,1,1 3 2 5),例2 单输入多输出系统 分子为矩阵，分母为行向量,num=0 0 3 2;1 0 2 5;den=3 5 2 1; printsys(num,den) sys1=tf(num(1,:),den) sys2=tf(num(2,:),den),（2）零极点增益描述法,MATLAB中增益k、分子零点向量z、分母极点向量p表示。 注意：根据MATLAB的约定，多项式的根（零极点）存在列向量中，行
7、向量中存多项式的系数。这里，z和p使用列向量。,同样可用 SYS = ZPK(Z,P,K)建立zpk模型。,Zero/pole/gain: 2 (s-1) (s-2) - (s-3) (s-5) (s-7),z=1;2; p=3;5;7; k=2; sys=zpk(z,p,k),注意都是列向量,（3）部分分式描述法,在传递函数没有相同极点时与部分分式相互转换： r,p,k=residue(num,den) %部分分式展开 num,den=residue(r,p,k) %部分分式拟合,例,被分解为,n=conv(10,1 3); d=conv(1 1,1 1 3); r,p,k=residue(
8、n,d); %展开 n1,d1=residue(r,p,k); %拟和 Sys2=tf(n1,d1),3、内部模型状态空间表达式,(2)称为状态方程 (3)称为输出方程。 对SISO，A是n*n 维系统矩阵，B是n*1维输入列向量，C是 1*n维输出行向量，D是1*1维的直接传递矩阵。,(2),(3),从仿真的角度来看，有时，仅仅实现系统输入与输出之间的关系是不够的，还必须实现模型内部变量，即状态变量，因此仿真要求采用系统内部模型，可采用状态空间表达式。,状态空间表达式的主要特点：,1、引入系统状态的概念，对动态系统内部和外部特性进行了完全的描述。,2、传递函数只适用于线性定常系统，而状态空间
9、表达式有较宽的适用范围，时变系统、非线性系统等。,3、状态空间表达式采用矩阵向量的数学描述形式，具有高度的抽象性。并便于在计算机上建模及数值求解，利于工程实现。,4、便于处理系统的初始条件。,状态空间描述法 在MATLAB中，这个系统写为A、B、C、D四个矩阵的形式即可，当然矩阵维数要匹配。 也可用SYS = SS(A,B,C,D) 建立ss模型，SYS = SS(A,B,C,D,Ts) 建立离散ss模型。,%控制系统模型的描述方式 a=1 2;3 4;b=0;1;c=1 1;d=1; f=ss(a,b,c,d),a = x1 x2 x1 1 2 x2 3 4 c = x1 x2 y1 1 1
10、 Continuous-time model.,b = u1 x1 0 x2 1 d = u1 y1 1,f1=ss(a,b,c,d,0.1),a = x1 x2 x1 1 2 x2 3 4 c = x1 x2 y1 1 1 Sampling time: 0.1 Discrete-time model.,b = u1 x1 0 x2 1 d = u1 y1 1,方便描述SISO、MIMO，连续时间和离散时间的模型,某系统的状态空间表达式为 在MATLAB中，写出A、B、C、D四个矩阵形式 本例中没有D，也需输入零矩阵，注意维数要匹配 双入双出,A=0 0 1;-1.5 -2 -0.5;-3 0
11、 -4,B=1 1;-1 -1;-1 -3,C=1 0 0;0 1 0,D=zeros(2),sys1=ss(A,B,C,D),4、内部模型系统结构图,系统结构图是系统中每一个元件或环节的功能和信号流向的图解表示。主要特点：,1、描述非常形象直观；,2、利用结构图的等效变换和化简规则，可以容易地根据各个环节的模型求出整个系统的模型；,3、对单入单出、多入多出或具有非线性环节的系统都可以通过面向结构图的仿真方法得到系统的动态模型。,典型的反馈控制系统结构图,基本环节通常由各种联接关系来构成复杂系统：串联 series并联 parallel反馈 feedback cloop,MATLAB中系统模型
12、的连接,（1）串联连接,由 得系统的状态空间表达式为,A,B,C,D=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2),状态空间表达式形式,传递函数形式,num,den=series(num1,den1,num2,den2),A1=2 3;-1 4 ;B1=1;0;C1=2 1;D1=1; A2=0 3;-3 -1 ;B2=0;1;C2=1 3;D2=2; A,B,C,D=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2),例1,四阶系统,例2,G1=tf(1 3,1 2 7); G2=tf(1,1 1); G=series(G1,G2),（2）并联连接,A,B,C,
13、D=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2),传递函数形式,num,den=parallel(num1,den1,num2,den2),（3）反馈连接,A,B,C,D=feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,sign),num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign),A,B,C,D=cloop(A1,B1,C1,D1,sign),单位反馈,num,den=cloop(num1,den1,sign),sign反馈极性，正反馈1，负反馈-1或缺省，,num1=1 1; den1=1 5 6; sys1=tf(
14、num1,den1); sys2=tf(1,1); sysb=feedback(sys1,sys2) numb,denb=feedback(num1,den1,1,1) numb2,denb2=cloop(num1,den1),Transfer function: s + 1 - s2 + 6 s + 7 numb = 0 1 1 denb = 1 6 7,例如某系统的结构框图如下,num1=10;den1=1 1;num2=1;den2=2 0.5; num3=540;den3=1;num4=0.1;den4=1; ns,ds=series(num1,den1,num2,den2); nb1
15、,db1=feedback(ns,ds,num4,den4,-1); ns2,ds2=series(nb1,db1,num3,den3); num,den=cloop(ns2,ds2,-1) printsys(num,den),0.1,二、连续时间系统模型的转换 （外部模型转化为内部模型）,1.化微分方程为状态方程（以SISO系统为例）,（1）系统的输入量不含导数项，微分方程如下：,今引入n个状态变量,以上微分方程变形为：,将上述个一阶微分方程写出矩阵形式可得,以上就是状态方程的标准形式,传递函数为严格真有理分式，直接传递矩阵D=0,（2）系统的输入量含有导数项，微分方程如下：,当m=n时可得到：,2、化传递函数为状态空间表达式,假设系统的传递函数如下所示：,可有四种实现形式：,已知传递函数求相应的状态空间表达式为实现问题，具有不唯一性。,化为能控标准型；,化为能观标准型；,化为对角线标准型；,化为约当标准型；,化传递函数为能控标准型状态空间表达式,能控标准型状态空间表达式为：,化传递函数为能观标准型状态空间表达式,能观标准型状态空间表达式为：,传递函数的特征方程为,如果特征方程有个互异的特征根，则可以把传递函数展开成部分分式的形式,化传递函数为对角线标准型状态空间表达式,式中,对上式进行拉氏变换，取 为状态变量，可把此传递函数化成对角线形式的状态方程,设,如果特征方程的特征根有
