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1、2. 函数值域的求法,函数的值域 (1)函数值域的定义 在函数yf(x)中,与自变量x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域 (2)确定函数值域的原则 当函数yf(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中y的值的集合 当函数yf(x)的图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合 当函数yf(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定 当函数由实际问题给出时,函数的值域应结合问题的实际意义确定,1、基本初等函数的值域:,(1)一次函数y=kx+b(k0)的值域:R,(2)反比例 函数的值域:y|yR,y0,知识归纳,二次函数y=ax2+bx
2、+c(a0)在给定区间 m,n上的值域:由图象取: minf(m),f(n),f( ),maxf(m),f(n), f( ),(4)指数函数y=ax(a0,a1)的值域:(0,+),(5)对数函数y=logax(a0,a1)的值域:R,(6)幂函数y=x(R)的值域: 0时,值域为0,+)或R, =0时,值域为y|yR,y0, 0时,值域为(0,+)或y|yR,y0,(7)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的值域分别为:-1,1, -1,1,R,2、求函数值域的方法:,基本原则:分解、变形、转化,(1)直接法:初等函数或初等函数的复合函数,从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的
3、取值范围;,(2)二次函数法:形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域; (3)换元法:代数换元,三角换元,均值换元等。,(4)反表示法:将求函数的值域转化为求它的反函数的值域; (5)判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;,(6)单调性法:利用函数在定义域上的单调性求值域; (7)基本不等式法:利用各基本不等式求值域;,(8)图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域;,(9)求导法:当一个函数在定义域上可导时,可据其导数求最值,再得值域;,(10)数形结合法:由几何意义,转化斜率、距离等求值域。,3运用不同方法求函数的
4、值域 例求函数y 的值域 分析:本题中函数的定义域为R,且分子、分母中至少有一个为关于x的二次式,所以可用判别式法;但注意到分子为x的一次式,可在x0时,分子、分母同除以x,用均值定理去求解;导数法更具有一般性,9,10,11,例1求下列函数的值域:,(1),(2),(3),变式,典型例题,类型一.初等函数的复合函数:,(5)已知f(x)=log3x x1,9,求函数f(x2)+f2(x)的值域。,例2求下列函数的值域:,(1),(2),(3),(4),类型二.其它函数:,(5),(6),(7)求 y=|x+1|+|x-2|的值域.,(8),例3已知函数的 定义域为R,值域为0,2,求m,n的值。,类型三.给定函数值域,求参数的取值范围,