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1、优化建模与LINDO/LINGO软件 第 10 章排队论模型,内容提要,10.1 排队服务系统的基本概念 10.2 等待制排队模型 10.3 损失制排队模型 10.4 混合制排队模型 10.5 闭合式排队模型 10.6 排队系统的最优化模型,10. 1 排队服务系统的基本概念,排队论(Queueing Theory)又称随机服务系统, 是通过研究 各种服务系统等待现象中的概率特征,从而解决服务系 统最优设计与最优控制的一种理论.,1. 排队的例子及基本概念,某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务。新来 维修的顾客到达后,若已有顾客正在接受服务,则需要排队 等待。若排队的人数过多,势必会
2、造成顾客抱怨,会影响到 公司产品的销售;若维修人员多,会增加维修中心的支出, 如何调整两者的关系,使得系统达到最优.,例10.1 排队的例子,它是一个典型的排队的例子, 关于排队的例子有很多, 例如: 上下班坐公共汽车, 等待公共汽车的排队; 顾客到商店购物形 成的排队; 病人到医院看病形成的排队; 售票处购票形成的排 队等; 另一种排队是物的排队,例如文件等待打印或发送; 路 口红灯下面的汽车、自行车通过十字路口等等.,排队现象是由两个方面构成,一方要求得到服务,另一方设 法给予服务。我们把要求得到服务的人或物(设备)统称为 顾客, 给予服务的服务人员或服务机构统称为服务员或服务 台。顾客与
3、服务台就构成一个排队系统,或称为随机服务系 统。 显然缺少顾客或服务台任何一方都不会形成排队系统.,对于任何一个排队服务系统,每一名顾客通过排队服务系统 总要经过如下过程:顾客到达、排队等待、接受服务和离 去,其过程如下图所示:,输入过程,顾客源总体:顾客的来源可能是有限的,也可 能是无限的,2. 排队服务系统的基本概念,到达的类型:顾客是单个到达,或是成批到达,相继顾客到达的间隔时间:通常假定是相互独 立、同分布的,有的是等距间隔时间,有的是 服从Poisson分布,有的是服从k阶Erlang分布,输入过程是描述顾客来源及顾客是按怎样的规律抵达排队系统,排队规则,损失制排队系统:顾客到达时,
4、若有服务台均被占,服务机构 又不允许顾客等待, 此时该顾客就自动辞去,2. 排队服务系统的基本概念,等待制排队系统:顾客到达时若所有服务台均被占,他们 就排队等待服务。在等待制系统中,服务 顺序又分为:先到先服务,即顾客按到达 的先后顺序接受服务;后到先服务 .,混合制排队系统:损失制与等待制的混合,分为队长(容量) 有限的混合制系统,等待时间有限的混 合制系统,以及逗留时间有限制的混合 系统.,排队规则是指服务允许不允许排队,顾客是否愿意排队,服务机构,服务台的数目: 在多个服务台的情形下,是串 联或是并联;,2. 排队服务系统的基本概念,顾客所需的服务时间服从什么样的概率分布, 每个顾客所
5、需的服务时间是否相互独立,是成 批服务或是单个服务等。常见顾客的服务时间 分布有:定长分布、负指数分布、超指数分 布、k阶Erlang分布、几何分布、一般分布等.,3.符号表示,排队论模型的记号是20世纪50年代初由D. G. Kendall (肯 达尔)引入的,通常由35个英文字母组成,其形式为,其中A表示输入过程,B表示服务时间,C表示服务台数目,n表示系统空间数。例如:,M/M/S/ 表示输入过程是Poisson流, 服务时间服从负 指数分布, 系统有S个服务台平行服务, 系统容量为无穷的 等待制排队系统.,(2) M/G/1/ 表示输入过程是Poisson流,顾客所需的服务 时间为独立
6、、服从一般概率分布,系统中只有一个服务 台,容量为无穷的等待制系统.,GI/M/1/表示输入过程为顾客独立到达且相继到达的间 隔时间服从一船概率分布,服务时间是相互独立、服从负指 数分布,系统中只有一个服务台,容量为无穷的等待制系统,3. 符号表示,(4) Ek/G/1/K表示相继到达的间隔时间独立、服从k阶Erlang 分布,服务时间为独立、服从一般概率分布,系统中只有一 个服务台,容量为K的混合制系统.,(5) D/M/S/K表示相继到达的间隔时间独立、服从定长分布、 服务时间相互独立、服从负指数分布,系统中有S个服务台 平行服务,容量为K的混合制系统.,4. 描述排队系统的主要数量指标,
7、队长与等待队长,队长(通常记为LS)是指在系统中的顾客的平均数(包括正在接受服务的顾客),而等待队长(通常记为Lq)是指系统中排队等待的顾客的平均数,它们是顾客和服务机构双方都十分关心的数量指标。显然队长等于等待队长加上正在被服务的顾客数.,顾客的平均等待时间与平均逗留时间,顾客的平均等待时间(通常记为Wq)是指从顾客进入系 统的时刻起直到开始接受服务止的平均时间。平均逗 留时间(通常记为Ws)是指顾客在系统中的平均等待时 间与平均服务时间之和。平均等待时间与平均服务时 间是顾客最关心的数量指标.,4. 描述排队系统的主要数量指标,系统的忙期与闲期,从顾客到达空闲的系统,服务立即开始,直到系统
8、再次变为空闲,这段时间是系统连续繁忙的时间,我们称为系统的忙期,它反映了系统中服务机构的工作强度,是衡量服务机构利用效率的指标,即,与忙期对应的是系统的闲期,即系统连续保持空闲的时 间长度.,服务机构 工作强度,用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间,用于服务顾客的时间 服务设施总的服务时间,5. Little(利特尔)公式,用 表示单位时间内顾客到达的平均数,表示单位时间内 被服务完毕离去的平均顾客数,因此1/ 表示相邻两顾客到 达的平均时间,1/ 表示对每个顾客的平均服务时间. J. D. C. Little给出了如下公式:,6. 与排队论模型有关的LINGO函数,(1) peb (lo
9、ad, S) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 服务系统中有S个服务 器且允许排队时系统繁忙的概率,也就是顾客等待的概率. (2) pel (load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 服务系统中有S个服务 器且不允许排队时系统损失概率, 也就是顾客得不到服务离 开的概率. (3) pfs (load, S, K) 该函数的返回值是当到达负荷为load, 顾客数为K,平行服务 器数量为S时, 有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数 的期望值.,10. 2 等待制排队模型,等待制排队模型中最常见的模型是,即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立,且服从参数 为的负指数分布
10、(即输入过程为Poisson过程), 服务台 的服务时间也独立同分布, 且服从参数为的负指数分 布,而且系统空间无限,允许永远排队.,1. 等待制排队模型的基本参数,(1) 顾客等待的概率Pwait,其中S是服务台或服务员的个数,load是系统到达负荷, 即 load=/=R*T, 式中R表示, T表示1/, R表示, 在下面的程序中,因此,R或是顾客的平均到达率, 是顾客的平均被服务数,T 就是平均服务时间.,1. 等待制排队模型的基本参数,(2) 顾客的平均等待时间Wq,其中T/(S-load)是一个重要指标,可以看成一个“合理的 长度间隔”。注意,当loadS时,此值趋于无穷。也就 是说
11、,系统负荷接近服从器的个数时,顾客平均等待时 间将趋于无穷. 当load S时, 上式Wq无意义。其直观的解释是:当系统 负荷超过服从器的个数时, 排队系统达不到稳定的状态, 其队将越排越长.,1. 等待制排队模型的基本参数,顾客的平均逗留时间Ws、队长Ls和等待队长Lq 这三个值可由Little公式直接得到,2. 等待制排队模型的计算实例,S=1的情况(M/M/1/) 即只有一个服务台或一名服务员服务的情况.,例10.2 某维修中心在周末现只安排一名员工为顾客提供服务。新来维修的顾客到达后,若已有顾客正在接受服务,则需要排队等待。假设来维修的顾客到达过程为Poisson流,平均4人/小时,维
12、修时间服从负指数分布,平均需要6分钟。试求该系统的主要数量指标。,解 按照式上面分析, 编写LINGO程序,其中R=4,T=6/60, load=R.T,S=1. 程序名:exam1002.lg4.,2. 等待制排队模型的计算实例,由此得到: (1) 系统平均队长 Ls=0.6666667, (2) 系统平均等待队长 Lq=0.2666667, (3) 顾客平均逗留时间 Ws=0.1666667(小时)=10(分钟) (4) 顾客平均等待时间 Wq=0.06666667(小时)=4(分钟) (5) 系统繁忙概率 P wait=0.4,在商业中心处设置一台ATM机,假设来取钱的顾客平均每分钟0.
13、6个,而每个顾客的平均取钱的时间为1.25分钟,试求该ATM机的主要数量指标.,解 只需将上例LINGO程序作如下改动:R=0.6,T=1.25 即可得到结果.程序名:exam1003.lg4.计算结果见运行,例10.3,即平均队长为3人,平均等待队长为2.25人,顾客平均逗留时间5分钟,顾客平均等待时间为3.75分钟,系统繁忙概率为0.75.,S1的情况(M/M/S/) 表示有多个服务台或多名服务员服务的情况,例10. 设打印室有3名打字员, 平均每个文件的打印时间为10分钟,而文件的到达率为每小时15件,试求该打印室的主要数量指标.,解 按照上面分析, 编写LINGO程序, 程名:exam
14、1004.lg4.,计算结果分析:即在打字室内现有的平均文件数为6.011件,等待打印平均文件数3.511件,每份文件在打字室平均停留时间为0.400小时(24分钟),排队等待打印的平均时间0.234小时(14分钟),打印室不空闲的概率0.702.,某售票点有两个售票窗口,顾客按参数=8人/分钟的Poisson流到达,每个窗口的售票时间均服从参数=5人/分钟的负指数分布,试比较以下两种排队方案的运行指标.,(1) 顾客到达后,以1/2的概率站成两个队列,如右图所示:,例10.5,(2) 顾客到达后排成一个队列, 顾客发现哪个窗口空时, 他就接受该窗口的服务,如下图所示:,解 (1) 实质上是两
15、个独立的M/M/1/系统,其参数S=1,R=1=2=4, T=1/=1/5=0.2, 编写其LINGO程序,程序名: exam1005a.lg4. 计算结果见运行,例10.5,(2) 是两个并联系统, 其参数S=2,R=8, T=1/=1/5=0.2, 编写其LINGO程序, 程序名: exam1005b.lg4. 计算结果见运行,两种系统的计算结果,从上表中所列的计算结果可以看出,在服务台的各种性能指 标不变的情况下,采用不同的排队方式,其结果是不同的. 从 表得到,采用多队列排队系统的队长为4,而采用单排队系统 总队长为4.444, 也就是说每一个子队的队长为2.222,几乎是 多列队排队
16、系统的1/2, 效率几乎提高了一倍.,例10.5比较分析,10. 3 损失制排队模型,损失制排队模型通常记为,当S个服务器被占用后,顾客自动离去。其模型的基本 参数与等待制排队模型有些不同, 我们关心如下指标:,(1) 系统损失的概率,其中load是系统到达负荷,S是服务台或服务员的个数.,1.损失制排队模型的基本参数,(2)单位时间内平均进入系统的顾客数(e或Re),(3)系统的相对通过能力Q与绝对通过能力A,(4)系统在单位时间内占用服务台(或服务员)的均值Ls,注意: 在损失制排队系统中, Lq=0, 即等待队长为0.,(5)系统服务台(或服务员)的效率,(6)顾客在系统内平均逗留时间(由于Wq=0, 即为Ws),注意: 在损失制排队系统中, Wq=0, 即等待时间为0.,在上述公式中, 引入e (或Re)是十分重要的, 因为尽管 顾客的以平均(或R)的速率到达服务系统, 但当系统 被占满后, 有一部分顾客会自动离去, 因此,