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1、引 言 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用变换的方法来达到目的。 例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算(如微分、积分)转化为代数运算。正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一。,积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用。 积分变换：就是通过积分运算，把一个函数变成 另一个函数的变换。 即,A类函数像函数,积分区域确定,
2、B类函数 像函数,确定的 二元函数 变换核,对不同的核和区间，决定了不同的变换及不同的性质与作用。 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解。,傅立叶生平,1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示” 1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”,5.1 傅立叶级数 一、傅立叶级数 对周期为2l的函数f(x)=f(x+2l)，可取三角函数族 (
3、1) 作为基本函数族，将f(x)展开成级数 (2) (2)式称为周期函数f(x)的傅立叶展开式。,函数族(1)是正交的，正交是指在三角函数族中任何两个不同函数乘积在一个周期上的积分为零。 以上等式都可以通过计算定积分来验证。,另外还有：任意函数的平方在一个周期上的积分不为零(模方) 利用三角函数系的正交性和模方，可以求得(2)式中的展开系数： (3) (3)式称为傅立叶系数。,函数族(1)又是完备的，解释如下：假设用 近似的表示函数f(x)，其中a0、ak、bk待定，于是平均平方误差为 将2展开，逐项积分，得,系数a0、ak、bk，应该选择使得 最小，即 由此可得 与傅立叶级数的系数(3)一致
4、，将上式代入 的表达式，得 可以证明：对于任意连续函数f(x) ，当n时，,这样，我们就称函数族是完备的，上式称为完备性方程。 问题： 傅立叶级数平均收敛于f(x)，并不意味着收敛于f(x)，甚至并不意味着收敛，那么f(x)需满足怎样的条件，傅立叶级数(2)收敛且收敛于f(x)呢？换句话说，定义在(-，+)上周期为2l的函数f(x)满足什么条件才能展开成傅立叶级数(2)及(3)呢？,【定理】(收敛定理，狄里希利充分条件) 周期为2l的函数f(x)，如果满足： 1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 2. 在一个周期内只有有限个极值点，则f(x)的傅立 叶级数收敛，并且 级数和,二、奇
5、函数及偶函数的傅立叶展开： 1. 若f(x)为奇函数，即 则 ，称为傅立叶正弦级数 其中 2. 若f(x)为偶函数，即 则 ，称为傅立叶余弦级数 其中,三、定义在有限区间上的函数的傅立叶展开 定义在有限区间(0，l)上的函数f(x)，可在区间外补充函数的定义，使其成为某种周期函数g(x)，这个过程称为周期延拓。然后将g(x)展开成傅立叶级数。由于(0，l)外无定义，所以可以有无数种延拓方式，从而有无数种展开式，但它们在(0，l)上均代表f(x)。 有时要求函数f(x)在边界上满足一定的条件，这常常决定了如何延拓。例如：要求f(0)=f(l)=0，则进行奇延拓；要求f(0)=f(l)=0，则进行
6、偶延拓。,四、复数形式的傅立叶级数 以复指数作为基本函数族 可以将周期函数展开成复数形式的傅立叶级数： 其中 正交性：,完备性方程： 尽管f(x)是实函数，但其傅立叶系数可能是复数，由系数公式可以看出，对于实函数 例1：设f(x)是周期为2的函数，它在-,上的表达式为 将f(x)展开成傅立叶级数。,解： 函数的图形如下 函数仅在 处是跳跃间断，满足收敛定理的条件，由收敛定理得傅立叶级数收敛，并且当 时，级数收敛于 当 时，级数收敛于f(x)。,傅立叶系数计算：,f(x)的傅立叶级数展开式 例2：设f(x)是周期为2的函数，它在-,上的表达式为 将f(x)展开成傅立叶级数。,解：函数的图形如下： 如图可知，f(x)满足收敛定理条件，在间断点 处，f(x)的傅立叶级数收敛于 在连续点 处收敛于f(x)。,傅立叶系数计算： f(x)的傅立叶级数展开式,例3：将函数f(x)展开成傅立叶级数。 解：将f(x)在(-，)上以2为周期作周期(偶)延拓，其函数图形为 延拓后的周期函数F(x)在(-，)上连续，故它的傅立叶级数在-,上收敛于f(x)。,傅立叶系数计算：,f(x)的傅立叶级数展开式,
