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1、在第三章求极限时，,我们遇到过许多无穷小量之比,或无穷大量之比的极限,我们称这类极限为未定式,例如，,都是无穷小量之比 的极限。,又如，,都是无穷大量之比 的极限。,以下各类极限称为不定型的极限：,其中 ,不定型的极限,倒数法,取对数法,只需讨论 这两种极限,它们不能用“商的极限等于极限的商”的规则进行运算，,但可用下面介绍的洛必达法则来求这类极限.,一、 型未定式洛必达法则,存在 (或为 ),定理 5.6,(洛必达法则),( 在 x , a 之间),无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x, a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,存在 (或为 ),证:,解:,原式,注意:
2、不是未定式不能用洛必达法则 !,例1 求,定理 5.6 中,换为,之一,推论 2,若,理5.6条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,推论 1,解:,原式,思考: 如何求,( n 为正整数) ?,例2 求,二、 型未定式的洛必达法则,存在 (或为),定理 5.8,（证明略）,(洛必达法则),说明: 定理5.8中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理5.8仍然成立.,解:,原式,例4 求,解: (1) n 为正整数的情形.,原式,例3 求,(2) n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹迫准则,存在正整数 k , 使当 x 1 时,例4 求,例3.
3、,例4.,1) 例3 , 例4 表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例如,而,用洛必达法则,2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .,说明:,例如,极限不存在,3) 若,三、其他类型的未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例5 求,解: 原式,解: 原式,通分,取倒数,取对数,例6 求,解:,利用 例5,通分,取倒数,取对数,例7 求,解:,注意到,原式,例8 求,说明:,这道题告诉我们，,洛必达法则是求未定式极限,的一种有效方法，,但最好能与其他求极限的方法结合使用，,这样可以使运算简捷.,分析: 为用洛必达法则 , 必须改求,法1 用洛必达法则,但对本题用此法计算很繁 !,法2,原式,例9 求,洛必达法则,内容小结,思考练习,1. 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,举例说明 .,极限,原式,分析:,分析:,原式,3.,则,解: 令,原式,4. 求,5. 求下列极限 :,解:,令,则,原式 =,解:,(用洛必达法则),(继续用洛必达法则),解:,原式 =,
