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1、2020/8/7,1,高等数学,北京工商大学杨益民,2020/8/7,2,定义:垂直于平面的非零向量,称为该平面的法向量。,已知平面上一点 及它的法向量,一、平面方程的各种形式,第五节 平面及其方程,1. 点法式方程,求平面的方程。,平面的点法式方程。,2020/8/7,3,2. 三点式方程,已知平面上三点,求平面的方程。,解,M1、M2、M3 三点共面,设M( x, y, z )是平面上任意一点,2020/8/7,5,平面一般方程的几种特殊情况:,平面通过坐标原点;,平面平行于x轴;,平面平行于xoy坐标面;,平面过x轴;,注:,平面的一般方程 中只有三个,独立的常数,即:三个条件确定一张平
2、面。,例如:(1)三个点;(2)一点加一方向;(3)其它形式三个条件,2020/8/7,6,则:,化简得,所求平面方程为,解,解,2020/8/7,7,因为平面过原点,设所求平面方程为,所求平面方程为:,解,平面过点(6,-3,2),2020/8/7,8,例4 试求过A(4,1,2)、B(-3,5,-1)且垂直于平面1,的平面方程。,解:,法1:,再用点法式方程,法2:,由三个条件代入一般方程,解方程组确定A、B、C、D,法3:,再用点法式方程,法4:,设所求平面上一点M(x, y, z),,2020/8/7,9,定义,(通常取锐角),两平面的法向量之间的夹角称为两平面的夹角。,二、两平面的夹
3、角,2020/8/7,10,则两向量夹角余弦公式:,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征:,(3) 1与2重合,(1) 1与2垂直,(2) 1与2平行,2020/8/7,11,例5 研究以下各组里两平面的位置关系:,解,两平面相交,夹角,(1),(2),平行,(3),垂直,2020/8/7,12,解,三、空间一点到平面的距离,点到平面距离公式,2020/8/7,13,注:空间直线的一般方程不唯一,一、空间直线方程的各种形式,第六节 空间直线及其方程,1. 空间直线的一般方程,2. 空间直线的对称式方程(点向式方程),定义:平行于一条已知直线L的非零向量 ,称为这条直线L的方向向量。,2020/8
4、/7,14,若已知直线L的方向向量 及直线上一点,则此直线的方程为:,直线的对称式方程,注:,(1)直线的方向向量的坐标m、n、p称为直线L的一组方向数。,(2)在直线L的对称式方程中方向数不唯一。,(3)对称式方程中,若有方向数为零,应作如下理解:,2020/8/7,15,3. 空间直线的参数方程,令,直线的参数方程,4. 空间直线的两点式方程,直线的两点式方程,2020/8/7,16,注:直线的四种方程本质上都是由两个平面方程联立得到, 四种方程之间可以相互转化。,例1 将下面直线的一般方程化为对称式方程、参数方程及两 点式方程。,例2 一直线过点A(2,-3,4),且和y轴垂直相交,求其方程。,解,所以交点为B(0,-3,0),因为直线与y轴垂直相交,,由两点式写出方程。,