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1、2020/8/7,1,高等数学,北京工商大学杨益民,2020/8/7,2,定义：垂直于平面的非零向量，称为该平面的法向量。,已知平面上一点 及它的法向量,一、平面方程的各种形式,第五节 平面及其方程,1. 点法式方程,求平面的方程。,平面的点法式方程。,2020/8/7,3,2. 三点式方程,已知平面上三点,求平面的方程。,解,M1、M2、M3 三点共面,设M( x, y, z )是平面上任意一点,2020/8/7,5,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面平行于x轴；,平面平行于xoy坐标面；,平面过x轴；,注：,平面的一般方程 中只有三个,独立的常数，即：三个条件确定一张平
2、面。,例如：（1）三个点；（2）一点加一方向；（3）其它形式三个条件,2020/8/7,6,则：,化简得,所求平面方程为,解,解,2020/8/7,7,因为平面过原点，设所求平面方程为,所求平面方程为:,解,平面过点(6,-3,2),2020/8/7,8,例4 试求过A(4,1,2)、B(-3,5,-1)且垂直于平面1,的平面方程。,解：,法1：,再用点法式方程,法2：,由三个条件代入一般方程，解方程组确定A、B、C、D,法3：,再用点法式方程,法4：,设所求平面上一点M(x, y, z)，,2020/8/7,9,定义,（通常取锐角）,两平面的法向量之间的夹角称为两平面的夹角。,二、两平面的夹
3、角,2020/8/7,10,则两向量夹角余弦公式：,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,(3) 1与2重合,(1) 1与2垂直,(2) 1与2平行,2020/8/7,11,例5 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,（1）,（2）,平行,（3）,垂直,2020/8/7,12,解,三、空间一点到平面的距离,点到平面距离公式,2020/8/7,13,注：空间直线的一般方程不唯一,一、空间直线方程的各种形式,第六节 空间直线及其方程,1. 空间直线的一般方程,2. 空间直线的对称式方程（点向式方程）,定义：平行于一条已知直线L的非零向量 ，称为这条直线L的方向向量。,2020/8
4、/7,14,若已知直线L的方向向量 及直线上一点,则此直线的方程为：,直线的对称式方程,注：,（1）直线的方向向量的坐标m、n、p称为直线L的一组方向数。,（2）在直线L的对称式方程中方向数不唯一。,（3）对称式方程中，若有方向数为零，应作如下理解：,2020/8/7,15,3. 空间直线的参数方程,令,直线的参数方程,4. 空间直线的两点式方程,直线的两点式方程,2020/8/7,16,注：直线的四种方程本质上都是由两个平面方程联立得到， 四种方程之间可以相互转化。,例1 将下面直线的一般方程化为对称式方程、参数方程及两 点式方程。,例2 一直线过点A(2,-3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程。,解,所以交点为B(0,-3,0),因为直线与y轴垂直相交，,由两点式写出方程。,
