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1、2.5 导数的应用,一、微分学基本定理 二、洛必塔法则 三、函数的变化性态研究 四、函数的极值与最值,2,一、微分中值定理,（一）、费马 (Fermat)定理,1. 极值的定义,定义 设 在 内有定义， ，称 在 取得极大值，若 ，使得 此时称 为 的极大值点， 为极大值.,称 在 取得极小值，若 ，使得 此时称 为 的极小值点， 为极小值.,3,2. 费马（Fermat）定理,设函数f (x)在区间 I 内有定义，且在 I 内部某点 处取极大值(极小值). 如果 f ()存在，则必有f ()=0.,一、微分中值定理,5,于是,对于f ( )为极小值的情况可类似证明.,若f ( )存在，则,一
2、、微分中值定理,6,对于区间端点, 费马定理的结论不一定成立(见下图).,一、微分中值定理,7,(二)、罗尔 (Rolle)中值定理,设 (1) f (x)在闭区间上a,b 连续，即f (x)C( a,b )；,(2) f (x)在(a,b)内可导；,(3) f (a)=f (b)，,则至少存在一点 (a, b)，使 f ( ) =0.,一、微分中值定理,1、罗尔 (Rolle)定理,8,证：,必在a, b上至少取到它的最大值,最小值各一次.,令,(i) 若M=m,于是,即(a, b)内的任何一点均可作为定理中的点.,一、微分中值定理,9,(ii) 若,，即 M m, f (x)不能同时在x=
3、a和x=b两点分别达到最大值M和最小值m,即至少存在一点(a, b)，使得,由费马定理可知：,一、微分中值定理,10,例1. 设f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ，abcd为实数. 证明方程 f (x)=0，有且仅有三个实根，并指出这三个根所在区间.,证： f (x)是一个四次多项式, f (x)在a, b, b, c, c, d上连续，可导，,又 f (a)=f (b)=f (c) =f (d)=0,故 f (x)在a, b, b, c, c, d上满足Rolle定理条件.,一、微分中值定理,11,从而， 1(a, b), 2(b, c), 3(c, d), 使得,f (1)=
4、 f (2)= f (3)=0, f (x)是一个四次多项式,故 f (x)=0 有且仅有三个实根：,1(a, b), 2(b, c), 3(c, d)., f (x)是一个三次多项式, 它最多有三个实根,一、微分中值定理,12,证：令F(x)=x2(f (b)f (a)(b2a2)f (x),由 f (x)的连续性和可导性，得,F(x)C (a, b)，F(x)在 (a, b)内可导,又 F(a)=a2(f (b)f (a)(b2a2) f (a)=a2f (b)b2f (a),F(b)=b2(f (b)f (a)(b2a2) f (b)=a2f (b)b2f (a),一、微分中值定理,13
5、,即 F(b) = F(a),由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得,F()=2 (f (b)f (a)(b2a2)f ()=0,即 在(a, b)内方程 2x(f (b)f (a)=(b2a2)f (x) 至少有一根。,一、微分中值定理,14,例3. 设a0, a1, , an 满足,证明 方程a0+a1x+an1xn1+anxn =0 在(0, 1)内至少有一实根,证: 令,则，f (x)C(0, 1)，在(0, 1)内可导。,一、微分中值定理,15,又 f (0)=0,即 f (0)=f (1),故 f (x)满足Rolle定理条件.,由Rolle定理，命题获证.,一、微分中值
6、定理,16,2. 罗尔定理的几何意义：,一、微分中值定理,一、微分中值定理,三、拉格朗日中值定理 (Lagrange),1、拉格朗日(Lagrange)定理,f (x)在闭区间a, b上连续（ f (x) C ( a, b )）;,在(a, b)内可导，,则至少存在一点 (a, b)，使,18,一、微分中值定理,19,构造一个辅助函数:,则由定理的条件, 得到: F(x)C(a, b), 在(a, b)可导，,又 F(a) = F(b) = 0,故由Rolle定理，至少存在一点(a, b)，使得,F ( )=0,即,亦即,一、微分中值定理,20,(1)定理的证明方法很多，例如，可作辅助函数,(
7、2) 不论ab还是ba，定理中的公式均可写成：,2. 关于拉格朗日中值定理的几点说明:,一、微分中值定理,21,(3)定理可以用增量形式表示,或,在以x和x+x为端点的区间上应用拉格朗日中值定理时, 所得到的 可表示为,这时, 定理中的公式为,一、微分中值定理,22,(4) 函数增量计算公式的比较,(微分, 近似),(拉氏, 精确),一、微分中值定理,23,(5) 拉格朗日中值定理的物理意义,一、微分中值定理,24,推论1 设f (x)在区间I上可导，且f (x)=0, xI. 则f (x)=C, xI.,证：,x1,x2I, 不妨令x1x2, 则f (x)在x1, x2上满足拉格朗日中值定理
8、条件，故有,而 f () = 0, 故,f (x2)=f (x1),由x1, x2 的任意性，f (x)=C, xI. (C为常数),3. 拉格朗日中值定理的三个重要推论,(C为常数),一、微分中值定理,25,推论2.若f (x)=g (x)，xI, 则 f (x)=g(x)+C , xI (C为常数),证：令 F(x)=f (x)g(x), 由推论1立即可证.,推论3. 若f (x)在a, b上满足拉格朗日中值定理条件，且| f (x) |M, x(a, b)，则,该推论很重要，常用来证明一些重要的不等式.,一、微分中值定理,26,例4 证明：当0ab时，,证 即要证,则 f (x)在a,
9、b上满足拉格朗日中值定理条件，,故,一、微分中值定理,27,例5 证明：,证：,取x=0, 计算C值：,即,一、微分中值定理,28,又 x =1时，,x = 1时，,综上所述,一、微分中值定理,29,例6. 证明：若f (x)在(, +)内满足关系式 f (x)=f (x)，f (0)=1，则 f (x)=ex.,证：要证 f (x)=ex, x(, +)，,即要证,令,(问题转化为证明 (x)=0),一、微分中值定理,30,又 f (0)=1, 故,从而,一、微分中值定理,31,例7. 证明若f (x)在a, b上可微，则至少存在一点,(a, b), 使,证(分析): 要证明,与拉格朗日中值
10、定理的式子比较可知，可作辅助函数,余下的由学生自己完成o.,一、微分中值定理,32,例8. 设f (x)=3x2+2x+5，求f (x)在a, b上满足拉格朗日中值定理的 值.,解：f (x)为多项式，在a, b上满足拉格朗日中值定理条件, 故,由此解得,(即此时 为区间a, b的中点),一、微分中值定理,33,(四)、柯西中值定理 (Cauchy),Cauchy, Augustin (1789-1857) 法国数学家,一、微分中值定理,34,在拉格朗日中值定理中，将曲线y=f (x)用参数方程表示出来就可得到中值定理的另一种形式。,一、微分中值定理,35,一、微分中值定理,36,设对应于P点
11、，t = ，则,一、微分中值定理,37,如果将上面的结果推广到真正具有任意性的两个函数中去，就成为柯西中值定理了.,一、微分中值定理,38,定理 (柯西(cauchy)中值定理),设 (1) f (x), g(x)C(a, b);,(2) f (x), g(x)在(a, b)内可导，且g(x)0,则至少存在一点(a, b)，使,一、微分中值定理,39,证：令F(x)=(f (b)f (a)g(x)(g(b)g(a)f (x), xa, b,则 F(x)C(a, b), F(x)在(a, b)内可导.,又 F(a)=F(b)=g(a) f (b)g(b) f (a),故 F(x)在a, b上满足罗尔定理条件，,于是 至少存在一点 (a, b) 使,即,亦即,(a, b),一、微分中值定理,40,例9.设x1与x2同号, 证明：,其中, 在x1与x2之间.,证：由于x1与x2同号, 故 x=0不在x1与x2之间.,令,则 f (x), g(x) 在由x1，x2为端点构成的区间内满足柯西中值定理条件，从而有,一、微分中值定理,41,整理得, ( 在x1与x2之间),一、微分中值定理,各定理之间的递推关系如下：,一、微分中值定理,
