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1、4.4内容回顾,一、有理函数,的积分,转化为下列三种形式的积分,多项式的积分,(容易),(容易),(容易),记,再利用P209例9的递推公式,(已讲但不需要记忆),至此,理论上有理函数的积分就算解决了,其原函数仍为,初等函数.,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换法,t 的有理函数的积分,1. 三角函数有理式的积分,则,代入原积分得,转化为,. 指数函数有理式的积分,令,被积函数为指数函数有理式, 可通过指数代换,化为有理函数的积分.,注: 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,思考与练习,如何求下列
2、积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,积分计算比导数计算灵活复杂,为提高求积分,已把常用积分公式汇集成表, 以备查用.,如 P362附录 .,积分表的结构: 按被积函数类型排列,积分表的使用:,1) 注意公式的条件,2) 注意简单变形的技巧,的效率,4.5 积分表的使用,第四章,例1. 求,解:,应使用 P368 公式105 .,但,无直接公式可套,例2. 求,解:,令,则,原式,(P364 公式 37),用公式几？,用公式几？,例3. 求,解: 令,则,原式,用公式几？,( 公式21),( 公式19),初等函数的原函数不一定是初等函数 ,因此不一,定都能积出.,如,等.,作业 P221 3
3、 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25,利用和不利用积分表分别计算.,第四章不定积分,微分法:,积分法:,互逆运算但,本章可用四个字及四句话概括如下：,四个字：,难、,四句话：,依型分类很重要；,（烦）,繁 、,活、,死。,变凑紧跟末忘掉；,眼光敏锐方法巧；,遇难则往已知靠。,原函数不是初等函数, 也称积不出来(死的).,习题课,一、 求不定积分的基本方法,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),3. 分部积分法
4、,使用原则:,1),v易凑易得 ;,2),比,好求（至少难度不增） .,一般经验: 按“反、对、 幂、 指、 弦” 的顺序,排前者取为 u ,后者与x凑微分得v,多次分部积分的快速计算法,可按下述快速计算方法:,当 u 为 n 次多项式时,计算,其中,是,的原函数且易求,如,则,+,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解:,原式,分析:,5,例3. 求,解 :,原式,(P221 4),=,=,=,例4. 求,解:,例5. 求,解: 取,说明: 此法特别适用于,如下类型的积分:,解：令x=lnt (t1)，则,例6,原式,2,dt,例7. 求,解:,设,则,因,连续 ,得,得,利用,二、几种特殊
5、类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及 部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,指数函数有理式,指数代换,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出.,例如 ,例8. 求,解: 令,则,原式,(最后注意还原),例9. 求,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,说明: 此技巧适用于形为,的积分.,例10.,求不定积分,解:,原式,关键是部分分式的形式及系数的确定,(P222 39),(P218 17),(P222 38),例11.,解:,I =,例12,此题有多种解法,的积分,例13,解:,原式=,(还原),=,1,令,（不妨设t）,还原,时，得相同的结果。,可作不同的 三角代换，但很麻烦。,解:,备用题1,计算,解:令,.,+1,原式=,三角函数的积分要重视,（因为）,令,
