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1、,问题,?,解决方法,利用复合函数,设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下:,由此可得换元法定理,例1 求,解(一),解(二),解(三),例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,原式,例10 求,解,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分.,例12 求,解,例13 求,解(一),(使用了三角函数恒等变形),解(二),类似地可推出,解,例14 设 求 .,令,例15 求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,(应用“凑微分”即可求出结果),二、第二类换元法
2、,证,设 为 的原函数,令,则,第二类积分换元公式,例16 求,解,令,例17 求,解,令,例18 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下:当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对的,需根据被积函数的情况来定.,说明(3),(三角代换很繁琐),令,解,例20 求,解,令,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,例22 求,解,令,(分母的阶较高),例23 求,解,令,基本积分表 ,三、小结,两类积分换元法:,(一)凑微分,(二)三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),思考题,求积分,思考题解答,练 习 题,练习题答案,