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1、第七章 无穷级数,（本章14学时）,学习目的及要求：,1.掌握无穷级数的概念和性质;,2.熟练掌握正项级数敛散性的判定;,3.掌握一般项级数绝对收敛与条件收敛的概念及判定法,能熟练判定交错级数的敛散性;,4.掌握幂级数的概念和性质,会求幂级数的收敛半径,收敛区间及收敛域;,5.能利用幂级数的性质求幂级数的和函数;,6.了解泰勒公式与泰勒级数,能用间接法将一些初等函数展成幂级数.,7.1 无穷级数的概念,定义1. 将一个数列 的各项依次相加的式子：,称为无穷级数(简称级数)，并将其简记为,其中相加的各加数称为级数的项，特别地，第n项 称为级数的一般项或通项。,将级数(7.1)前n项的和记为：,称
2、 为前n项和或部分和。,显然， 构成一个数列，称为级数(7.1)的部分和数列。,定义2. 若级数(7.1)的部分和数列存在极限：,则称级数(7.1)收敛，其和为S,记为:,若 不存在，则称级数(7.1)发散，它没有和。,称为级数的余项。|Rn|称为用Sn估计S所产生的误差.,当级数收敛(有和)时，部分和 就是其和 的近似值， 与 之差：,例3 讨论几何级数(等比级数),解 当 q 1时, 部分和,(1)当q 1时,(2)当 q 1时,的敛散性.若收敛,则求出其和.(参见书P272例1）,(其中a0,为常数， q 称为级数的公比, 为它的一般项),(3)若 q = 1时, 则,当 n 为偶数时,
3、故原级数发散.,综上，几何级数：,当 q 1时, 发散.,当q 1时，收敛.且有,(4)若 q =1时, 则级数为：,当 n 为奇数时，,（请务必熟记上面的结论！）,7.2 无穷级数的基本性质,性质1. 若级数 与 都收敛，它们的和分别,性质2. 若级数 收敛到S，常数 ,则级数,收敛到aS ;若级数 发散，则 也发散。,性质3. 将级数 的前面加上(或去掉)有限项，级数的敛散性不变。（当然，收敛时，和一般要变）,S及W，则 也收敛。且其和为 。,性质4. 收敛级数加括号后得到的级数仍收敛，且和不变。,此性质说明：加法的结合律对收敛的无穷级数仍成立。,注意：发散级数加括号后有可能成收敛级数，因
4、此，加括号后级数收敛，原级数未必收敛。,例如：,但 收敛。,性质5.(级数收敛的必要条件) 若 收敛，则必有,由性质5 可知，若 ，则级数 必发散。,例1 为常数，试判断级数 的敛散性。,解： 记 ，在第二章2.6 我们就知道,事实上，, 当 时，, 当 时，,例2 若级数 收敛，则下列级数不收敛的是（ ）,A.,C.,B.,D.,分析与解：注意到已知 收敛，由性质2知,由性质3 知，C、D 所示级数也是收敛的；,是收敛的；, ，, ，,根据性质5，B 所示级数不收敛。,注意！性质5 的逆不真，即：,例3 证明调和级数,而,与前者矛盾. 故调和级数发散. 但,发散。,证 这里我们用反证法.,假
5、设该调和级数收敛到S, 则有：,熟记此结论！,（参见书P280例1）,例4. 判断下列级数的敛散性，若是收敛的，则求其和。,解： 记,可见，本小题可用连锁相销法。,即 所示级数收敛到,现在来解 ,记 ，,而 是公比为 的几何级数 ，收敛。,且,而 是公比为 的几何级数 ，也收敛。,且,由收敛级数的基本性质1，原级数收敛，且：,7.3 正项级数,定理7.6 正项级数 收敛的充要条件为：,部分和数列Sn有上界。即存在M 0，使SnM 对一切n成立。,根据数列极限存在的准则（见教材P72定理2.12），得,（一） 正项级数收敛的基本定理,下面我们来讨论对判断正项级数的敛散性行之有效且应用简便的三种方
6、法。,(二).比较判别法,定理7.7(比较判别法) 设两个正项级数U： V: 满足条件：,对一切 成立。,(其中，c0，常数，N为某个正整数),则有：,(1) V级数收敛，则U级数也收敛；（大敛小敛）,(2) U级数发散，则V级数也发散。 （小散大散）,则有:,在实际中，使用上面所述的比较判别法也常用如下的极限形式（参见教材P282推论）,对于正项级数 及,若存在极限,(1) 当 时, 级数与 级数同敛散。,(2) 当 时, 级数收敛，则 级数也收敛。,(3) 当 时, 级数发散，则 级数也发散。,利用上述的比较原理判别正项级数收敛的关键是要选择一个已知其敛散性的级数作比较标准，常用作比较标准
7、的级数，一是前面已介绍的几何级数，二是如下的p级数：,例1 判断下列级数的敛散性,解： 记 ，,由等比级数 收敛，得：,收敛。,记 ，,显然有 .,由p 级数 收敛，得知：,级数 收敛。,记 ，,则 ，即, 也收敛。,易知 收敛，,由上面的讨论我们看出,2、用p 级数作比较标准判别正项级数 的敛散性，,就看当 时， 是否为比 更高阶的无穷小，,（见教材P281-282例）,(三).比值判别法,则有：,定理7.8(达朗贝尔比值判别法) 如果正项级数,(1) 当q1时，级数 收敛。,(2) 当q1时，级数 发散。,(3) 当q=1时，级数的敛散性不能用此法确定。,前面的比较判别法需有一个已知其敛散
8、性的级数作比较的标准，进一步的研究可得，由正项级数通项自身的特征，也能得到级数敛散的判别法。,满足：,例2 判定下列级数的敛散性.,故原级数收敛.,故原级数发散.,解：以下所有级数的第n 项均用 表示。,故原级数发散.,故原级数发散.,（另外的例见教材P284),(四).根值判别法（参见教材P285),定理7.9（柯西根值判别法）如果正项级数,(3) 当 时，级数的敛散性不能用此法确定。,(1) 当 时，级数 收敛。,(2) 当 时，级数 发散。,例见教材P285,满足条件： 则,故原级数收敛.,解：令,利用根值判别法，,（由 ）,7.4 任意项级数，绝对收敛,(一)定义：若级数 的各项具有任
9、意正负号或为0，则称 为任意项级数。例如 等等。,下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中的一种各项正负相间的特殊情形 交错级数, 它是一种常见而有实用价值的特殊级数.,(二) 交错级数的莱布尼兹判别法,设un0，(n=1,2,)，则称,为交错级数。例如 等等。,（7.7),对于交错级数，判定其敛散性，有如下使用方便的莱氏判别法。,定理7.10 (莱布尼兹) 若交错级数 满足：,(1) (n=1,2,),(2),则级数 收敛，且其和 。,的符号与 相同，且 。,（证明参见教材P286）,余项,我们常称满足莱布尼兹定理条件的交错级数为莱布尼兹级数，例如：,等等。,均为莱布尼兹级数。（即：
10、它们都是收敛的。）,由于任意项级数各项的符号不一定同号,因而正项级数敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们考察它每一项取绝对值后所成的级数时，我们就可用正项级数的判别法来讨论它了。,(三)绝对收敛与条件收敛,对任意项级数 (un为任意实数),若 收敛，则 必收敛，此时称级数 为绝对收敛。（参见教材P287定理7.11),若 收敛，但 发散，则称原级数 为条件收敛。,例如 为绝对收敛，,均为条件收敛级数。,判定任意项级数 是绝对收敛或是条件收敛，可依下列步骤进行：,1.先判定 是否收敛，若收敛，则 绝对收敛；,2.如果 发散，再考虑 的收敛性，如果 收敛，则为条件收敛。,下面的定理用于考察任
11、意项级数 的敛散性也是有用的。,判定 的收敛性，只需用正项级数的判定法判定。,证,则对,发散.,若 ，结论显然成立。,定理7.12 如果任意项级数 满足条件,则当 时, 级数 绝对收敛；当 时， 发散。,例1 判定下列级数的敛散性:,由比较判别法的极限形式知,即原级数绝对收敛.,发散.,收敛.,解：,解：,从而原级数不绝对收敛；,故原级数条件收敛.,由 发散，知级数不绝对收敛。下面讨论它的条件收敛性。,（等价无穷小代换）,原级数条件收敛.,当 x e 时,单减,令 ，则,故莱布尼兹定理条件满足，,又,由根值判别法知 收敛.,即原级数绝对收敛.,解：令,前面讨论的级数，其每一项都是与项标n 有关
12、的实数，所以称之为数项级数，若级数的每一项是x 的函 数则称相应的级数 为函数项级数。,本节我们讨论最简单的函数项级数幂级数。,的级数，称为 的或 x 的幂级数，其中,形如,(7.9),均为常数，称为幂级数的系数。,7.5 幂级数,对于级数 (7.9) 作变量平移： ，并仍记t为x，便得幂级数(7.10)，反之，级数(7.10)经过适当变换，也可以变为形如(7.9) 的级数。所以以下将主要讨论形式更简的幂级数(7.10)：,若数项级数 收敛，就称幂级数(7.10)在x0处收敛，x0 则称为(7.10)的收敛点，,取定x=x0，则(7.10)就成为一个数项级数：,级数(7.10)的全体收敛点构成
13、的集合称为级数(7.10)的收敛域。,的函数,这个函数称为幂级数的和函数.并记为,对于幂级数 (7.10)： 在其收敛域内任取一点,均可得一个收敛的数项级数,从而有一个确定的和.,故在幂级数的收敛域上,幂级数的和是一个关于x,类似数项级数，我们称 为部分和，,对于收敛域内任意一点x ,均有,因此可见，幂级数 的和一般不易求出。,下面的定理对于确定级数(7.10)的收敛域是什么形式很有帮助。,对于级数(7.10)来说，我们关心的是其收敛域是什么，它在收敛域内有什么性质。,则在满足不等式 的一切点x 处，(7.10)都发散。,阿贝尔定理 若幂级数(7.10): 在点 处, 若级数(7.10)在点
14、处发散，,显然，级数(7.10)在 处必收敛。根据上面的阿贝尔定理，级数(7.10)的收敛情况只可能有如下三种：,(1) 只是在 处收敛,在任何 处发散。,(2) 在 内处处绝对收敛。例如,(3) 存在R0，级数 在 处处绝对收敛，对一切 的点x处均发散。,收敛区间加上收敛的端点称为级数的收敛域。,我们称R为级数(7.10)的收敛半径，(-R, R )为级数,(7.10)的收敛区间，,且约定，出现情形(1)，记R=0;,出现情形(2),记 。,对于情形(3)，在收敛区间的,端点： 处，,级数(7.10)可能收敛也可能发散，应,具体判定。,定理7.13（见教材P292）对于不缺项的幂级数：,(1
15、) 当 时，,(3) 当 时，,(2) 当 时，,对于不缺项的幂级数 ，求其收敛域的步骤为：,.根据定理7.13 求级数的收敛半径R及收敛区间(-R,R ),.(-R,R)加上收敛端点得级数的收敛域(开区间,闭区间，半开半闭区间)。,.讨论 处级数的敛散情况。,若有 ，,则：,例1. 求下列级数的收敛区间及收敛域,解： ，, 由已知, .,即原级数仅在 处收敛。,为莱布尼兹级数，收敛，且不难看出其是条件收敛。,综上，级数的收敛域为 。,在 处，原级数：,在 处，原级数为：,发散；,即,当 时，级数为,绝对收敛。,当 时，级数为,也绝对收敛。, 级数收敛域为 。, 收敛半径为1，收敛区间由 确定。,令 ，级数变为：,例2. 求幂级数：,的收敛区间及收敛域.,解：显然这是一个有缺项的级数（缺少偶次项），,我们不能直接用定理7.13求收敛半径。可以这样来处,理
