2概率的定义及其确定方法电子教案

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1、事件的概率就是事件发生的可能性大小的一个数值度量.,更重要的是对事件出现的可能性的大小有一 个定量的描述.,2 概率的定义及其确定方法,研究随机现象不仅关心试验中会出现哪些事件，或者某事件发生的可能性大不大，,准确了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有重要意义.,即只有一个定性的描述是不够的，,这就需要有一个度量事件发生可能性大小的数量指标，,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小, 确定保险金额.,特殊,1933年, kolmogorov 柯尔莫哥洛夫,随机试验所有

2、可能结果为有限个等可能的情形； 将等可能思想发展到含无穷多个元素的样本空间,输光、得分问题,克服等可能观点不易解决的问题,公理化定义,古典、几何定义, 频率定义,但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.,若对于 中的每一个事件AF，定义在F上的一个实值函数 P(A)满足：,(2) P( )= 1 ，,(3) 若事件A1 , A2 , , An , 两两互不相容，则有,(1) 若事件A F，则 P(A) 0 ，,设 是一个样本空间, F 为的某些子集组成的一个事件域,1.2.1 概率的公理化定义,定义2,称P(A)为事件A的概率，,在学习几何和代数时，我们

3、已经知道公理是数学体系的基础.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，,非负性,正则性,可列 可加性,由概率的三条公理，我们可推导出概率的若干重要性质.,数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.,称三元素(,F, P )为概率空间 .,此种重复排列的总数为,(1)排列 从n个不同元素取 r 个(r n)排成一列(考虑先后顺序)，,称其为一个排列.,排列、组合的定义及其计算公式,(2)重复排列 从n个不同元素中每次取1个，放回后再取下一个，,r = n时称全排列.,由乘法原理，此种排列的总数为,显然,如此连续取r 次(r可以大于n)

4、所得的排列称为重复排列，,此种重复组合的总数为,由乘法原理，组合总数为,此种组合的总数记为 或 ，,(3)组合,从n个不同元素任取 k 个( k n)并成一组(不考虑先后顺序)，,称其为一个组合.,(2)重复组合 从n个不同元素中每次取1个，放回后再取下一个，,如此连续取r 次(r可以大于n)所得的组合称为重复组合，,使用排列组合的概念与公式时，应注意其对有序与无序、重复与不重复的要求.,则称n(A)为事件A 发生的频数,称比值 为事件 A 在 n 次试验中出现的频率,定义1,如果在 n 次重复试验中事件A 发生了n(A)次,记为 f n ( A )，,即,A 发生的频繁程度,基本性质,(3)

5、 设A1, A2, , Ak 两两互不相容的事件，则,稳定性,事件的统计规律性,？,非负性,正规性,有限 可加性,1.2.3 确定概率的频率方法,参见P14 的 三个例子,即满足公理化定义.,并且当实验重复次数 n 较大时，可用频率给出概率的一个近似值.,用频率确定概率是一种常用的方法.,其基本思想是：,(1) 与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行；,(2) 人们长期实践表明： 随着实验重复次数 n 的增加，,频率 f n(A)会稳定在某一常数 a 附近，,称常数 a 为频率的稳定值；,这个频率的稳定值就是我们所求的概率；,(3) 频率方法的缺点 现实中，人们无法把一个实验无限次地重复

6、下去，,因此要精确地得到频率的稳定值是困难的.,但频率方法提供了概率的一个可供想象的具体值，,故称频率为概率的估计值.,这正是频率方法最有价值的地方.,1.2.4 确定概率的古典方法,古典方法的基本思想 ：,(1) 样本空间 只有有限多个样本点，,(2) 每个样本点发生的可能性相等，,等可能性,这样就把求概率问题转化为计数问题 .,设事件 A 由 k 个样本点组成 ，即,由可加性知 A 的概率为：,A 包含的样本点数, 中的样本点总数,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 .,同时掷两枚均匀硬币, 分别求事件A =两枚都出现正面, B =一枚出现反面 和 C =两枚都出现反面的

7、概率.,解,同时掷两枚硬币有 4 个等可能的结果，即样本空间为,例1(P14 例9), =(正,正), (正,反), (反,正), (反,反),4 个等可能,古典概型,又事件A, B, C 分别包含 1个、2个和 1个样本点，,排列组合是计算古典概率的重要工具,列 举 法,(2) 先任取一只, 作测试后不放回, 在剩下的中再任取一只.,一个盒子中装有10个大小、形状完全相同的晶体管，其中 3 只是次品.,例2 (P14 例10),按下列两种方法抽取晶体管：,(1) 先任取一只, 作测试后放回盒中, 再任取下一只；,有放回抽样,无放回抽样,试分别对这两种抽样方法, 求从这10只晶体管任取 2 只

8、中，恰有一只是次品的概率.,解,设 A = 抽取的 2 只晶体管中恰有一只是次品 ,(1)有放回抽样：,由于每次都是从10只中取, 10 10 种取法,即 的样本点数 n = 10 2，,第 1 次取到合格品，且第 2 次取到次品 第 1 次取到次品，且第 2 次取到合格品,A:, 7 3 3 7, 共有 7 3 + 37 = 42 种取法,古典概型,(2)无放回抽样：,第 1 次是从10只中取, 第 2 次是从 9 只中取，, 10 9 种取法,即 的样本点数 n = 109，,A:, 共有 7 3 + 37 = 42 种取法,古典概型,现从这 N 件中任取 n 件(不放回),设有 N 件产

9、品, 其中有 M 件次品,解,例3(抽样模型),设 A = 恰抽到 m 件次品 ,求其中恰有 m 件次品的概率.,次品,正品,N M 件正品, 含的样本点数为 ,只能取自 M 件次品,A 的次品有 种取法，,A 的正品有 种取法，,故 A 含的样本点数为 ,超几何分布的概率公式,在电话号码簿中任取一个电话号码,求后面 4个数字全不同的概率(设后面 4个数中的每一个数都是等可能地取自 0-9 这 10 个数).,解,所求概率与号码的位数无关,允许重复,求样本空间样本点总数 和 求事件所含样本点数 的计数方法不同,从10个不同数字中 取4个的排列,例4(P15 例12),设 A = 后 4 位数字

10、全不相同 , 含样本点数: 10 4,A 所含样本点数为 ,求这 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双鞋的概率？,解,方法 1,样本空间样本点数为 ,5 双不同的鞋中任取 4 只，,例5(P16 例13),设 A= 取的 4 只鞋子中至少有 2 只配成一双 ,先从5双中任取 1双,从余下的 4 双中任取 2双,从这 2双中各任取 1只,A= 4 只鞋中恰有 2 只配成一双 4 只鞋恰好配成两双 ,方法 2, 取的 4 只鞋子中没有成双的 ,先从5双中任取 4 双,在从这4双中各取 1只,所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单,还有其它解法吗？,错在何处？,在用排列组合公式计算古典概型时

11、必须注意不要重复计数，也不要遗漏,从5双不同的鞋中任取4只，求这 4 只鞋中至少有 2 只配成一双鞋的概率？,先从5双中任取 1双,从余下的 8只中任取 2只,这 2只鞋有“不成双”和“成双”两种情形,与5双中任取一双时已出现“4只恰有两双”的情形重复,正确做法,多算了 种,解法 3,同样的“4只配成两双”算了两次,P(A)= ,“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件,再次提醒注意：,在实际应用中，往往只能“近似地”出现等可能，“完全地”等可能是很难见到的.,在许多场合，由对称性

12、和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,2、用排列组合公式计算样本点数时必须注意不要重复计数，也不要遗漏,例6 掷两枚骰子出现的点数之和等于3 的概率.,解 掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为, 2, 3, 4, , 12 , =(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (6,6) ,2,66,3、所求为“至少”或“至多”的问题，用余概公式简单,例5,4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型,有n个人, 每个人都以相同的概率1/N(Nn)被分在 N 间房的每一间中, 求指定的n间房中各有一人的概率.,4、许多表面上提法不同的问题实质上属于同

13、一类型,有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这n (n 365)个人的生日互不相同的概率.,有n 个旅客, 乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/ N(N n), 求指定的 n 个站各有一人下车的概率.,某城市每周发生7次车祸, 假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.,分球入箱,是常见的几种模型 .,箱中摸球,分球入箱,随机取数,分组分配,我们介绍了古典概型.,古典概型的定义简单，但计算复杂，应用方面多.,例5,例2、3,设有 n 个球，每个都以相同的概率 1/N(Nn) 落入 N 个箱子中的每一个中. 根据不同条件，分别求事件 A=某预

14、先指定的 n 个箱子中各有一球的概率 p .,1. 球编号 2. 球不编号,每个箱子只容纳一个球 每个箱子容纳的球数不限 每个箱子只容纳一个球 每个箱子容纳的球数不限,而与该区域的位置和形状无关)，,就形 成了确定概率的另一方法几何方法.,这无限多个样本点可表示为一个有度量的几何区域时,借助于古典概率的定义，设想仍用“事件的概率”等于“部分”比“全体”的方法来规定事件的概率.,(即样本点落入某区域内可能性的大小,且可用一个有度量的几何区域来表示；,早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.,1.2.5 确定概率的几何方法,.,.,.,定义(P.17) 若随机

15、试验 E 具有以下两个特征：,(1) E 的样本空间有无穷多个样本点，,(2) 试验中每个样本点出现的可能性相同,不过现在的“部分”和“全体”所包含的样本点是无限的.,用什么数学工具可以构造出这样的数学模型？,几何的观念,则称 E 为几何概型 .,有度量的区域,事件A对应的区域仍以A表示,长度 面积 体积,.,.,仅与该区域的度量成比例,乘客到达车站的任意时刻是等可能的，,例7(P17 例14),公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过，,求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率.,解,x 乘客到达车站的时刻, 一个实验结果，,t 乘客到达车站后的第一辆公共汽车的时刻，,由题意知，乘客只能是在时间间

16、隔(t -5,t 内来到车站的，,故样本空间 = t -5 x t ，,且 的度量 = t -(t -5 )= 5.,而事件 A= 乘客候车时间不超过 3 分钟 , A= x|t -3 x t ,且 A 的度量 = 3.,设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监控期为 L 单位时间，该期间内随时可提取尿样化验.,问该人员复吸且被检验出的概率是多少？,例8(P18 例15),设该人员随时可能复吸，,且复吸后 S 单位时间内尿样呈阳性反应，,解,x 复吸时刻;,y 提取尿样的时刻,(x, y) 样本点,样本空间 = (x,y )| 0 x L , 0 y L ，,则 的度量 = L 2.,A= 该人员复吸且被检验出 , A= (x, y )| 0 y -x S ,则 A 的度量 =,1. 样本空间 是平面上某个区域(一线段，或平面、空间中某个区域)，它的面积(长度或体积)记为();,2. 向区域 上随机投掷一点满足：该点落入 内任何部分区域 A ( 线段、平面