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1、第七章 模拟滤波器的设计,滤波就是把一个混合信号的某些分量分离出来或把它去掉。 自然滤波（地震波） 人工滤波：由仪器或运算来完成。 滤波器是一种选频装置，它只允许一定频带范围的信号通过，同时极大地衰减其它频率成分。,要分离有用信号s(t)与干扰信号n(t), 若上述二信号的频率上是分离的，若存在一个,这样n(t)被滤去，仅存下有用信号s(t) 为了获取有用信号，通常采用以下理想滤波器,A,1,(,f,),0,1,f,f,C,A,2,(,f,),0,1,f,f,C,A,3,(,f,),0,1,f,f,C1,f,C2,A,4,(,f,),0,1,f,f,C1,f,C2,a,根据滤波器的选频特性 低
2、通滤波器(LP)：通频带0fc 高通滤波器(HP)：通频带fC 带通滤波器(BP)：通频带fC1fC2 带阻滤波器(BS)：通频带0fC1与fC2（阻带: fC1 fC2）,滤波器的种类,7.1 理想滤波器,A,0,|,H,(,f,)|,f,c,-,f,c,0,f,|,H,(,f,)|,f,c,-,f,c,0,f,2,p,t,0,理想低通滤波器 频率特性,无过渡带且在通频带内满足不失真测试条件的滤波器称为理想滤波器。理想滤波器的频率响应函数为：,2、理想低通滤波器的冲击响应,(t),y(t),h(t),H(f),Y(f),D(f),=,1,理想滤波器的脉冲响应函数为sinc函数，若无相角滞后（
3、t0=0）：,亦即：,对上述的频率响应函数做傅氏逆变换：,h,(,t,),2,A,0,f,c,0,t,h,(,t,),0,t,t,0,t,b,),理想低通滤波器脉冲响应函数,d(t),0,t,0,t,h,(t),在输入(t)到来以前，即t 0时，滤波器即有了与输入相对应的输出，显然，这违背了因果关系，任何现实系统都不可能具有这种预知未来的能力。,输入,响应,同样，理想高通、带通、带阻滤波器也是不存在的。实际滤波器的频域图形不可能出现直角锐变，也不会在有限频率上完全截止。理论上，实际滤波器的频域图形将延伸至 f 。即滤波器只能对通带以外的频率成分极大地衰减而不能完全阻止其通过。,A,1,(,f,
4、),0,1,f,f,C,A,2,(,f,),0,1,f,f,C,A,3,(,f,),0,1,f,f,C1,f,C2,A,4,(,f,),0,1,f,f,C1,f,C2,a,理想滤波器的阶跃响应,单位阶跃输入,滤波器的阶跃响应：,若不考虑前、后皱波，输出从0(a点)到应有的稳定值A0(b点)之间的所需建立时间为：,建立时间,如果按稳态响应值的0.10.9作为计算建立时间的标准，则：,滤波器通频带越宽（fc越高），建立时间越短，响应速度越快。其物理意义是： 输入信号突变处（间断点）必然含有丰富的高频分量。 低通滤波器阻衰了高频分量，结果将输出波形“圆滑”。 通带越宽，阻衰的高频分量越少，使信号能量
5、更多更快地 通过，故建立时间短，反之建立时间长。,低通滤波器对阶跃响应的上升时间tr与带宽B成反比，即： Btr = 常数 该结论对高通、带通及带阻滤波器均成立。,滤波器带宽表示其频率分辨力，通带越窄，分辨力越高，显然，高分辨力(B值小)与响应速度是互相矛盾的。如果要用滤波的方法从信号中提取某一很窄的频率成分（如作谱分析），必须有足够的时间。,d,d,A,0,0,实际,f,C1,f,C,2,f,0,f,1、实际滤波器的基本参数,理想带通滤波器（红色）与实际带通滤波器（蓝色）的幅频特性。 对于实际的滤波器需要更多的参数对其进行描述。,7.2 实际滤波器参数, 截止频率fc 幅频特性等于所对应的频
6、率。以A0为参考点，对应于-3dB点，即相对于A0衰减3dB。若以信号幅值的平方表示信号功率则-3dB点对应半功率点。,下截止,上截止,理想,上下两截止频率之间的频率范围称为滤波器带宽或-3dB带宽。带宽B决定频率分辨力。, 带宽B,d,d,A,0,0,实际,f,C1,f,C,2,f,0,f,下截止,上截止,理想, 矩形系数（滤波器因数） 滤波器选择性的一种表示法是倍频程选择性，另一种表示法就是用矩形系数。用滤波器幅频特性的-60dB带宽与-3dB带宽的比值表示。,除了用上述的截止频率、带宽B、矩形系数做为描述滤波器的性能的参数外，还有以下几个参数： 纹波幅度d 品质因素Q 倍频程选择性W,中
7、心频率fn的概念：,算术平均： 几何平均：,如倍频程滤波器,ck为H(s)的零点， dk为H(s)的极点，若考虑 处的零极点，则零极点数相等,5.3模拟滤波器的系统函数 模拟滤波器的设计方法就是寻找一个可以实现的系统在一定的误差范围内逼近理想的滤波器特性。 设滤波器的系统函数可表示为：,零极点配置规律： （1）零极点必须是实数或共轭成对出现 （2）对于因果系统，极点应分布在S左半平面,5.4 .模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标有p, p,s和s。其中p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p是通带(=0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数，p和s一般用d
8、B数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：,(7.2.1),(7.2.2),如果=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示为 以上技术指标用图7.2.2表示。图中c称为3dB截止频率，因,(7.2.3),(7.2.4),图7.2.2 低通滤波器的幅度特性,滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此,(7.2.5),模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Caue
9、r)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,7.5 巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示：,(7.2.6),图7.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系,将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数：,(7.2.7),此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：,(7.2.8),图7.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布,为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为,设N=3，极点有6个
10、，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令p=j，p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为,(7.2.10),(7.2.11),式中，pk为归一化极点，用下式表示： 将极点表示式(7.2.12)代入(7.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示：,(7.2.12),将=s代入(7.2.6)式中，再将|Ha(js)|2代入 (7.2.4)式中，得到：,(7.2.
11、14),(7.2.15),由(7.2.14)和(7.2.15)式得到：,令,则N由下式表示：,(7.2.16),用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(7.2.14)式或(7.2.15)式求出，由(7.2.14)式得到：,由(7.2.15)式得到：,(7.2.17),(7.2.18),总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标p,p,s和s，用(7.2.16)式求出滤波器的阶数N。 (2)按照(7.2.12)式，求出归一化极点pk，将pk代入(7.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。 (3)将
12、Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,表7.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例7.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数N。,(2) 按照(7.2.12)式，其极点为,按照(7.2.11)式，归一化传输函数为,上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表7.2.1简单，由N=5，直接查表得到： 极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.58
13、78; -1.0000,式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361,(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。 按照(7.2.17)式，得到：,将c代入(7.2.18)式，得到：,将p=s/c代入Ha(p)中得到：,7.6 切比雪夫滤波器的设计 我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图7.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2()表示：,(7.2.19),图7.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性,式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大。p称为通带截
14、止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为,当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x； 当N=2时，C2(x)=2x 2 - 1-； 当N=3时，C3(x)=4x 3 - 3x。 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x) - C N-1 (x) (7.2.20),图7.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线,图7.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。 由图可见： (1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内； (2)当|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。,按照(7.2
15、.19)式，平方幅度函数与三个参数即,p和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹用下式表示：,(7.2.21),因此,(7.2.22),图7.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线,设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的A2(s)用(7.2.19)式确定：,(7.2.23),令s=s/p，由s1，有,(7.2.24),(7.2.25),可以解出,3dB截止频率用c表示，,按照(7.2.19)式，有,通常取c1，因此,上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,(7.2.26),以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。 设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,(7.2.23),令s=s/p，由s1，有,(7.2.24),(7.2.25),上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：,(7.2.26),设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明：,(7.2.27),式中,(7.2.28),(7.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,(7.2.29),(7.2.30),(7.2.31),图7.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布,设N=3，平方幅度函
