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1、1,第一节、向量及其线性运算,第三节、曲面及其方程,第8章,本章内容：,第二节、数量积 向量积 *混合积,第八章,空间解析几何 与向量代数,第四节、空间曲线及其方程,第五节、平面及其方程,第六节、空间直线及其方程,2,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,第8章,3,表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的
2、向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,如：力、力矩、位移、速度、加速度,（简称向量）,（几何上为有向线段的长度）,其方向是任意的,5,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,(2)三角形法则:,(1)平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,6,7,2. 向量的减法,三角不等式,两向量,与,的差为,8,3. 向量与数的乘法, 是一个数 ,规定 :,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,9,定理1.,设a 为非零向量,则,(为唯一实数),例1. 设M 为,解:,（证明略）,10,4、数轴上的点、向量、实数之间的关系,数轴:给定了原点,方向和单位长度
3、的直线。,由于一个单位向量即确定了方向，又确定了单位长度,因此，只要给定了原点和一个单位向量就确定了一个,数轴。,轴由原点,和单位向量,所确定,在,轴上任取一点,对应有向量,对应由实数,（坐标）,11,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点o,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,12,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R ；,坐标面上的点 A,B,C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ；,13,坐
4、标轴 :,坐标面 :,14,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,有序数,称为向量,的坐标，记为,15,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,16,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,得两点间的距离公式,对两点,与,17,对上面两点,记,令,称,为向量,在三个坐标轴上的分向量,为向量,在三个坐标轴,上的投影。,与,则,18,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点O ,称 =AOB (0 )为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标
5、轴正向的夹角 , , 为其方向角.,方向角的余弦称为方向余弦.,19,方向余弦的性质:,20,例2.已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,21,3、向量在轴上的投影,1）点,在,轴上的投影,过点,作一平面垂直于,轴,平面与,轴的交点为,则,称为点,在,轴上的投影。,2）向量,在,轴上的投影,设点,在,轴上的投影分别是,则在,轴上的有向线段,的值,称为,轴上的投影。,在,记为,22,3) 向量与轴的夹角,设空间有一向量,4) 投影定理,等于向量的模乘以向量与轴,之间的夹角,的余弦，即,例如：,23,说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4) 相等向量在同一轴上投影相
6、等；,24,解,设向量,的方向角为,例3,设向量,已知,它与,轴和,轴的夹角分别为,如果点,的坐标为,求点,的坐标。,25,26,例4,解: 因,1). 设,求向量,在 轴上的,投影及在 轴上的分向量.,故在 轴上的投影为,在 轴上的分向量为,27,2).,设,求以向量,行四边形的对角线的长度 .,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,28,例5：一向量与,轴组成的角,是它们的两倍,确定这向量的方向。,解：先求方向余弦，再求方向角。,又,又,或,或,29,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,四、小结,向量在轴上的投影与投影定理.,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量的模与方向余弦的坐标表示式.,（注意分向量与向量的坐标的区别）,30,P12 3 , 5, 10, 13, 15, 18, 19,作业,
