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1、1.4 条件概率与乘法公式 1.4.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概率 下面首先看一个例子:,第1章 概率论基础,将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.,分析,事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为,1. 引例,一、条件概率,定义1.6 设A与B是同一样本空间中的两事件， 若P(A) 0，则称 (1.2) 为在A发生下的B的条件概率 类似地，当P(B) 0时，定义在B发生下事件A发生的条
2、件概率为 (1.3),1.4.1 条件概率,4,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法：,在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。,5,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解方法1在原样本空间 中计算,【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到一 等品”，求条件概率P(B|A)。,因为“不放回依次取两只”有序，排列的每种不同 结果就是一个样本点
3、,所以样本点总数为,A所含样本点均为“第一次取一等品的两产品”，故其 所含样本点总数有利场合数为,6,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,而AB的样本点均为“两次均取一等品”，故其所含样本点总数有利场合数为,由古典概率公式得:,从而,由条件概率公式得:,方法2在缩减样本空间A中计算,7,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,“第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点, 共有 故由古典概率公式得:,S,AB,A,注意 （1）条件概率P(B|A)与无条件概率P(B)没有必然关系.（2）当B A时，有 （3）当AB = 时，有,1
4、.4.1 条件概率,（4） 不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公理： (1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) 0； (2) 规范性：P( | A) = 1； (3) 可列可加性：设 事件两两互不相容，则 所以,条件概率P(| A)也满足概率的所有其他性质,1.4.1 条件概率,例如:,1.4.1 条件概率,【例1.11】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率 解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,则有所求概率为,由于BA,所以P(
5、AB)=P(B),1.4.1 条件概率,1.4.2 乘法公式 由条件概率公式容易得到下面定理 定理1.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件，如果P(A) 0，则 (1.4) 如果P(B) 0，则 (1.5) 上面均称为事件概率的乘法公式 定理1.1容易推广到求多个事件积事件概率的情况,1.4 条件概率与乘法公式,事实上,可进一步推广如下:,右侧的条件概率均有意义,1.4.2 乘法公式,1.4.2 乘法公式,【例1.12】某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率 解：设A = “任取的一件是合格品”， B = 任取的一件是一等品 因为
6、 且B A 所以,1.4.2 乘法公式,【例1.13】某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号求他拨号不超过三次而接通电话的概率若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？ 解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3， B =“拨号不超过3次接通电话”， 则事件B的表达式为 利用概率的加法公式和乘法公式,1.4.2 乘法公式,若已知最后一位数字是奇数， 则,1.4.2 乘法公式,【例1.14】猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为0.6若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至50米远处，此时只有0.1的击中概率求猎手三枪内击中猎物的概率 解：以Ai =“第i枪击中猎物”，i = 1，2，3， 则所求概率,1.4.2 乘法公式,课堂练习 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,B “透镜落下三次而未打破”.,在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可加性得到所求事件的概率，这种方法就是全概率公式,1.4.2 乘法公式,
