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1、第三章 幂级数展开 意义：1. 利用级数计算函数的近似值； 2. 级数法求解微分方程； 3. 以级数作为函数的定义； 4. 研究奇点附近函数的性质。 3.1 复数项级数 一、复级数概念,原级数成为 这样复级数 归结为两个实级数 ， 实级数的一些性质可移用于复级数。 二、收敛性问题 1、收敛定义： 部分和 于 有确定的极限，便称级数收敛；极限不存在或 ，便称级数发散。,2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ，必有 N 存在，使得 n N 时， 式中 p 为任意正整数。,3、绝对收敛级数 若 收敛，则 绝对收敛。 a. 绝对收敛级数改变先后次序，和不变； b. 两个绝对
2、收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数和之积。,为-N语言叙述的极限定义！,三、函数项级数 1、概念与收敛判据 设 是 z 平面上某区域 B中的单值解析函数。如果函数项 在 B 中（或某曲线 l 上）所有点上都收敛，则说级数在B中（或某曲线 l 上）收敛。,柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对B内每点 z，任给小正数 0, 必有 N(, z) 存在，使得当 n N(, z) 时， 式中 p 为任意正整数。N一般随 z 不同而不同，但如果对任给小正数 0, 存在与 z 无关的N(), 使得 n N() 时，上式成立，便说 在 B 内一致收敛。,为-N语言叙述的极限定义！,2、一致收敛级数
3、的性质 记级数和为 （1）在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项 都是 B 内的连续函数，则级数的和 也是 B 内的连续函数。 （2）逐项求积分 在曲线 l 上一致收敛的级数，如果级数的每一项 都是 l 上的连续函数，则级数的和 也是 l 上的连续函数，而且级数可沿 l 逐项求积分。,（3）逐项求导数（外氏Weierstrass 定理） 设级数 在 中一致收敛， 在 中单值解析，则级数的和 也是 中的单值解析函数， 的各阶导数可由 逐项求导数得到，即： 且最后的级数 在 内的任意一个区域中一致收敛。,3、级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法，或优级数判别法，或M判别法 若对于某区
4、域 B (或曲线 l )上所有各点 z, 函数项级数 各项的模 (mk 是与 z 无关的正数)，而正的常数项级数 收敛，则 在区域 B (或曲线 l )上绝对且一致收敛。,3.2 幂级数 一、定义 其中 为复常数。 这样的级数叫作以z0为中心的幂级数。 二、幂级数敛散性 1、比值判别法（达朗贝尔判别法）,按比值判别法（达朗贝尔判别法） 若 则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。 引入记号 则即：若 ，则（3.2.1) 绝对收敛。,另一方面，若 则 级数发散 即： 收敛 发散,R：收敛半径 CR: 收敛圆,圆内收敛,R,CR,z0,圆外发散,2、根式判别法： 若 （3.2.2）收敛，
5、（3.2.1）绝 对收敛 级数发散 (收敛半径的另一公式),R：收敛半径 CR: 收敛圆,收敛,发散,R,CR,z0,3、收敛圆内幂级数绝对且一致收敛 作 在 有 对 应用比值判别法 有 幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！,R：收敛半径 CR: 收敛圆,收敛,发散,R,CR,z0,CR1,R1,三、例题 例1 求 的收敛圆。t 为复数,若,则,解：,例 2 求 的收敛圆。z 为复数. 解：,R：收敛半径 CR: 收敛圆,收敛,发散,R,CR,z0,CR1,R1,四、幂级数所代表的函数的解析性质 1、幂级数每一项均是z的解析函数，而且在收敛圆内任一闭区域中一致收敛，据外氏定理，这级数的和 w(z)
6、 是收敛圆内的一个解析函数 2、幂级数在收敛圆内可逐项积分 3、幂级数在收敛圆内可逐项求导,4、幂级数的回路积分表示,3.3 解析函数的泰勒（Taylor）级数展开： 定理：设 f (z) 在以 z0 为圆心的圆 CR 内 解析，则 对圆内的任意 z 点, f (z) 可展为幂级数， 其中展开系数为 为圆CR 内包含 z 且与CR 同心的圆。,20,It was in 1715 that Taylor published (with no consideration of convergence) his well-known expansion theorem. In 1717, Taylo
7、r applied his series to the solution of numerical equations. Recognition of the full importance of Taylors series awaited until 1755, when Euler applied them in his differential calculus, and still later, when Lagrange used the series with a remainder as the foundation of his theory of functions. Ta
8、ylor was educated at St. Johns College of Cambridge University and early showed great promise in mathematics. He was admitted to the Royal Society and became its secretary, only to resign at the age of thirty- four so that he might denote his time to writing.,Brook Taylor (Englishman, 1685-1731),证明:
9、 作,展开,由柯西公式,（3.3.1）,其中,收敛,CR,z0,CR1,R1,o,x,y,R,z-z0,z,-z,0,将（3.3.3）代入（3.3.1）逐项积分,即,是以 z0 为中心的泰勒级 数，展开是唯一的。,（3.3.3）,例1、求 ez 在 邻域的 Taylor 展开。 解：因为 故 收敛半径,例2、求 ez 在 z0=1 邻域的 Taylor 展开。 解：因为 故 收敛半径,例3、求 和 在 z=0 邻域的 Taylor 展开。 解： 故,收敛半径,?,27,28,类似 收敛半径,例4、求 1/(1-z)2 在 z=0 邻域的 Taylor 展开。 解：因为 而 所以,收敛半径 ，级
10、数在 |z|1时收敛！ 一般而言, 收敛半径为展开中心至最近奇点之距离。 此例收敛半径 R=1。 事实上，该函数的奇点为 z =1, 等于 z = 0 与 z =1 两点间的距离。,二、多值函数的 Taylor 展开 多值函数在确定了单值分支后，可象单值函数那样在各单值分支上作泰勒展开。 例5、在 展开,收敛半径 R=1。 n = 0的那一支为 主值分支。,o,x,y,1,割线,z-1=1,例6、求 在 邻域的 Taylor 展开（m不是整数）。 解：,从而,m 不是整数!此为非整数二项式定理,收敛半径 R=1。式中 n=0为主值分支。 三、无穷远点邻域内的泰勒展开 若存在R, 使 f (z)
11、 在以 z = 0 为圆心，R为半径的圆外（包括 ）解析， 作变换 有,3.4 解析延拓 解析延拓是解析函数理论中的一个重要概念,37,一、解析延拓的定义： 设已知一个函数 f1(z) 在区域 B1 中解析。如果在与 B1 有重叠部分 b (可以是一条线) 的另一区域 B2 内存在一个解析函数 f2(z), 在 b 中 称 f2(z) 为 f1(z) 在 B2中的解析延拓；反过来， f1(z) 也是 f2(z) 在 B1 中的解析延拓。,B2,B1,b,f1(z),f2(z),解析延拓解析函数定义域扩大,通常在两类问题中用到解析延拓: (1)已知在某区域中有定义的解析函数，例如用级数、积分或者
12、其他表达式来表达的函数，用解析延拓的方法扩大其定义域和解析范围。 ex, sin x, cos x ez, sin z, cos z (2)已知数学问题的解是某区域 B 内(除了个别奇点外)的解析函数。但求解的方法只能给出在 B 的某一子区域 B 内才有效的函数表达式，利用解析延拓的方法，可以从这个表达式推算出解在 B 的其他子区域中的表达式。,二、延拓方法：原则上讲，可通过泰勒展开进行。例：,x,y,i/2,C1,C2,展开中心,如以“i/2”为展开中心,在上面的例子中，我们用函数的幂级数表达式作解析延拓照那样做下去，将得到有不同收敛圆的许多幂级数，这些幂级数的全体代表一个解析函数F(z)每
13、一个幂级数 常称为 F(z) 的一个元素，在它自己的收敛圆内代表 F(z) 的泰勒展开。 解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的证明（略）,3.5 解析函数的洛朗（Laurent）展开 一、双边幂级数 正幂部分有收敛半径 引入新变量 负幂部分成为 有收敛半径 ，其在 内部收敛， 即在 的外部收敛。若 级数,43,正幂部分 收敛域(白色),负幂部分收敛域(白色),收敛环,R2,R1,在 内绝对且一致收敛。 称为级数的收敛环。若 级数发散。 二、洛朗展开定理 设 f (z) 在环形区域 的内部单值解析，则对环域上任一点 z, f (z)可展为幂级数 其中 路径C 是位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任
14、一闭合曲线。,证：作,z0,R2,R1,CR1,CR1,CR2,CR2,z,C（不规则闭合线）,证明请见本章ppt21页,2圆2线构成复联通区域,z0,R2,R1,CR1,CR1,CR2,CR2,z,C,代入积分 第二和式换求 和指标后成为,换向改号,外侧,内侧,从而,函数在R1、R2围成的闭区域内解析， R1 R2间同向积分环路半径可以任意变化！,其中,C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一 闭合曲线。,1、正幂部分 称为 Laurent 级数的解析部分，在 圆内绝对且一致收敛； 2、负幂部分 称为 Laurent 级数的主要部分，在 圆外绝对且一致收敛；,Laurent 级数 展开也是唯一的。 因此可用各种方法求一个函数的级数展开。,关于 Laurent 级数展开的注意点： 1、尽管上式中含有 (z - z0 ) 的负幂次项，而这些项在 z=z0 点是奇异的，但 z0 点可以是，也可以不是函数 f (z) 的奇点； 2、尽管求展开系数ak 的公式与 Taylor 展 开系数的积分公式形式一样，但 不论z0 是否 f (z)的奇点。 若z0 为 f (z)的奇点，则 f (k)(z0) 根本不存在； 若z0 不是 f (z)的奇点，则 f (k) (z0) 存在，但 ak 还是不等于 f (k)(z0)/k! 区域上有 f (z)的奇
