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1、对于非离散型随机变量，由于它的可能取值不能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样用分布律来描述它；另外,非离散型随机变量取指定实数值的概率通常等于零,因而我们主要来研究随机变量所取的值落在一个区间内的概率: Px1X x2, 而,2.3 随机变量的分布函数,Px1X x2= PX x2- PX x1 所以,只要知道 PX x2和PX x1就可以了 下面引入随机变量的分布函数的概念.,设X是一随机变量，x是任意实数，函数,定义,对于任意实数x1 , x2(x1 x2=1- PX x2 =1-F(x2),3.F(x)是右连续的, 即:F(x+0)=F(x).,性质,2.0 F(x) 1
2、,且,1.F(x) 是非减函数.即若x1 x2,则F(x1)F(x2).,称为X 的分布函数,(- x +),注：若一个函数具有以上性质，则它一定是某个随 机变量的分布函数.,一、随机变量的分布函数,例1 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数.,例2 一袋中有6个球,其中2个标号为1, 3个标号为2, 1个标号为3, 任取1个球，以X 表示取出的球的标号, (1) 求X 的分布函数；(2)求 P2X3.,解：X的分布律为,X 1 2 3pk 1/3 1/2 1/6,0 1 2 3,F(x),x,1,设离散型随机变量X的分布律为,二、离散型随机变量X的分布函数,F(x)是阶梯函数, 跳跃点为x
3、1, x2, x3 , , 跳跃度为p1, p2 , p3 , ,X的分布函数为:,o x1 x2 x3 ,F(x),x,1,p1,p2,p3,例3 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数,解,0 1 2 3,F(x),x,1,本例中的分布函数F(x)的图形是一条连续曲线，且对于任意 x 均有 其中,这说明随机变量 X 的分布函数 F(x) 恰好是某个非负函数f(x)在(-,x上的积分，这种情况的随机变量 X 称为连续型随机变量. 这就是我们下节中要研究的连续型随机变量,2.4
4、连续型随机变量的概率密度,1.定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)存在非 负函数 f (x)，使对于任意实数x 有,则称X 为连续型随机变量， f (x)-X的概率密度函数，简称概率密度,(*),2. 概率密度f(x)的性质：,(4)若f(x)在点 x 处连续, 则,x1 x2,F(x),1,P x1X x2 ,连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义：,x,(1)由定义知, 改变概率密度f(x)在个别点的函数值不影响分布函数F(x)的取值,因此概率密度不是唯一的.,(2)连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数;,注,(3)连续型随机变量X取任一指定值 a 的概率为0，即 P
5、X=a = 0 .,因为,= 0,故对连续性随机变量，有,PaXb= PaX b= Pa Xb= Pa X b,例1 已知连续型随机变量X的分布函数为,试求 X 的概率密度 f(x) 及 P/4 X 2.,解,f(x)= F (x) =,P/4 X 2=F(2)F(/4)=1sin /4,或,例2 设连续型随机变量X的概率密度为,求 (1)常数 k; (2) X的分布函数 F(x); (3) P1X5/2., ,x,x,x,x,x,解,1,例3 设连续型随机变量X的概率密度为 求 (1)系数A (2)P-1/2X1/2 (3)F(x),若连续型随机变量X的概率密度为,几种常见的连续型随机变量,
6、(一)均匀分布,显然，f(x)0,且,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记作XU(a, b).,X的分布函数为,f(x),f(x)及F(x)的图形:,例4 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟发一趟车，已知某乘客在7：00 到 7：30 任一时刻到达车站，求他候车时间少于5分钟的概率.,解: 由题意，乘客到达车站的时间XU(0, 30)，,P候车时间少于5分钟,例4 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在800欧 1000 欧，求R的概率密度及R落在850欧950欧 的概率.,解: 由题意，R的概率密度为,而,若X的概率密度为,显然，f(x)0, 且,(二)指数分布,其中 0为常数, 则称X
7、服从参数为 的指数分布.,X的分布函数为：,无记忆性：,指数分布的f(x)及F(x)的图形:,1,o x,F(x),f(x),o x,指数分布有着重要应用，如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述.,例5 设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为 求 (1)此种灯泡使用寿命超过100小时的概率. (2)任取5只产品, 求有2只寿命大于100小时的概率.,答：(1) e-1 (2),其中 , ( 0) 为常数, 则称X服从参数为 , 的正态分布，记为 .,(三) 正态分布,正态分布的分布函数为:,若随机变量X的概率密度为,显然，f(x)0, 且,正态分布
8、的 f(x)及F(x)的图形:,正态分布的概率密度函数f(x)的性质,(1) 曲线关于直线 x= 对称 .,(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;,(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;,(4) 对固定的,改变的值,图形沿x轴平移;,(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖,X落在附 近的概率越大.,标准正态分布,当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作XN(0,1).,其概率密度与分布函数分别用 (x),(x).即,(1) (x)是偶函数，即 (x)= (x);,(x)与(x)的性质,(2) 当x=0时， (x) 取得最大值 ;,(3) (x)=1 (x);,引理 设
9、,则,(4) 若XN(, 2),标准正态分布,2,1若XN(, 2), 则,证明: 的分布函数为,由此知,例6 已知 , 求,例7 设XN(1.5，4)，求 P1X3.5，PX -4.,解,P1X3.5,解,+,2,+2,3,+3,68.26%,95.44%,99.74%,“3”法则（三倍标准差准则）,例8 将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内, 调节器定在doC, 液体的温度X(以C计)是一个随机变量,且 XN(d, 0.52) . (1)若d=90,求X小于89的概率. (2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99, 问d 至少为多少?,解: (1)所求概率为,(2) 按
10、题意, 所求d 满足,定义,例如,设XN(0, 1) , 若 z 满足条件,=1.645,=2.57,= -1.645,o x,则称点 z 为标准正态分布的上 分位点 (如图).,查表,2.5 随机变量的函数的分布,在分析和解决实际问题时，常常会遇到一些随机变量，它们的分布难于直接得到，但其与一些已知随机变量之间具有函数关系.本节主要解决如何由随机变量X的概率分布求出随机变量Y=g(X)的概率分布.,对于随机变量X的函数的分布的讨论分两部分 一、离散型随机变量函数的分布律 二、连续型随机变量函数的概率密度,一、离散型随机变量函数的分布律,例1 设随机变量X的分布律为 X1 0 1 2 3 pk
11、 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 求 (1) Y=X1 (2) Y=2X (3) Y=X2 分布律。,X - 1 0 1 2 3,pk 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10,X - 1 - 2 - 1 0 1 2 -2 X 2 0 - 2 - 4 - 6 X 2 1 0 1 4 9,解：,3/10,二、连续型随机变量函数的概率密度,对于连续型随机变量，需要由随机变量X的概率密度 去求随机变量 Y=g(X) 的概率密度. 解决这类问题的一般方法是：,-分布函数法,第二步：利用连续型随机变量分布函数与概率密度的关系，求导数即可得到所求概率密度.,第一步：求出Y的分布函数的
12、表达式，,例2 设随机变量X具有概率密度,解 先求Y=2X+8的分布函数,求 Y=2X+8 的概率密度.,于是，得 Y=2X+8的 概率密度为,特别,若 ，则,例3 设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度.,解 先求Y的分布函数 . 因为,故当y0时，,当 y0 时，,于是，得Y的概率密度为,例如 , 设XN(0, 1) , 其概率密度为 则Y=X2 的概率密度为,注: (1) 此时称 Y 服从自由度为 1 的 分布;,(2) 若Y=g(X)中的g(.)是严格单调函数时, 可由 下面定理求出Y的概率密度.,定理 设随机变量X具有概率密度 fX(x) , 又设函数g(x)处处可导且有 g
13、(x)0(或恒有 g(x)0) , 则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为 其中 h(y)是g(x)的反函数.,注: (1)若g(x)不是单调函数不能用此定理. (2)若 f(x)在有限区间a, b以外等于零，则只需假设在a,b上恒有g(x)0(或恒有 g(x)0) , 此时,例4 设电压 V=Asin, 其中A是一个已知的正常数, 相角是一个随机变量, 在区间(-/2, /2)服从均匀分布,试求电压 V的概率密度.,设随机变量 . 试证明X 的线性函数Y=aX+b (a0)也服从正态分布.,解: X的概率函数为 现在y=g(x)=ax+b, 由这一式子解得 , 且有 由定理得Y=aX+b的概率密度为,练习题（正态分布）,注: (1) 正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布.,解:,2.某厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额做出规定.据以往纪录，工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求工人每月需完成多少件产品才能获奖？,记工人每月装配产品数为XN(4000,3600).,设需完成件n件产品才能获奖,则依题意，有,PXn=10%,即 90%=PXn=,查表得,解得,故每月需完成4077件以上才能获奖.,
