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1、参数方程和普通方程的互化,珠海市二中 马清太,例：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,1.将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。 2.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。 3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x、y的取值范围保持一致。,曲线C的普通方程和参数方程是曲线C的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.,通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。,曲线的参数方程,曲线的普通方程.,（1）判断点P1（1，2），P2（0，1）与曲线C的位置关系 （2）点Q(2,a)在曲线l上，求a的值. （3）化为普通方程，并作图
2、 （4）若t0， 化为普通方程，并作图.,分析与解答:（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x, y，即可以求出相应t值. 所以，令,t无解， 点P1不在曲线C上.,同理，令, 点P2在曲线C上.,（2）Q在曲线C上，,如图.,（4）t0, x=2t0, y=3t2+11, 消去t，得：, t0时，曲线C的普通方程为,(x0, y1).,点评:在（4）中，曲线C的普通方程的范围也可以只写出x0, 但不能写成y1，这是因为,是以 x为自变量，y为因变量的函数，由x的范围可以确定y的取值范围，但反过来不行.,即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自变量的范围，但对于非函
3、数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的范围都应标注出来.,（1）互化时，必须使坐标x, y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的. 如曲线y=x2的一种参数方程是（ ）,分析:在y=x2中，xR, y0，在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，因而与y=x2不等价，而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,（2）在求x,y 的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。,注意:,解：y=co
4、s2 =1-2sin2 =1-2x2,应选C.,例4： 下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是( ),解：普通方程x2-y中的xR，y0，A.中x=t0，B.中x=cost-1,1，故排除A.和B.C.中,=ctg2t=,即x2y=1，故排除C.应选D.,例5.直线：3x-4y-9=0与圆：,的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心,A线段B双曲线一支 C圆弧D射线 答案：A。 分析 由,，将其代入,，整理得：,B抛物线一部分，这部分过点,C双曲线一支，这支过点,D抛物线一部分，这部分过点,分析 因为,因此，参数方程表示抛物线,
5、的一部分，这部分过点,，故选B。,A双曲线一支，这支过点,练习,例1已知直线l1: x-ky+k=0, l2:kx-y-1=0. 其中k为参数，求l1, l2交点的轨迹方程. 解法1:求出两直线的交点坐标，即解方程组:,当k21时，得到,这就是所求轨迹的参数方程，但如果要求轨迹的普通方程，需消去参数k.,（k为参数）,解法2： 由kx-y-1=0，当x0时，可得,代入方程x-ky+k=0 得:,点评:解法2中，方程两边同除以x，会丢x=0的解；方程两边同乘以x，会增x=0的根，所以最后得到轨迹方程后应检验是否是同解变形. 两种方法得到轨迹的不同形式的方程，只要把参数方程中的参数消去，便可得到同
6、样的普通方程.（不妨试试，可利用加减消元法消去k，但应关注y1的限制条件。）,去分母，化简得:x2-y2+1=0(x0) 当x=0时，存在k=0，使得y=-1. 所以，所求轨迹的普通方程为:x2-y2+1=0(y1).,例2: 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长. 解： 将圆的方程化为参数方程：,（为参数）,则圆上点P坐标为(2+5cos ，1+5sin )，它到所给直线之距离,故当cos(-)=1，即=时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(-)=-1,即-时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).,例3：等腰
7、直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向排列， A是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）,分析 设点C的坐标为(x,y) ，不易直接建立x,y之间的关系，所以可考虑建立x,y之间的间接关系式. CAX完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置是CAX的函数，所以可选CAX为参数,C点的参数方程为：,消去参数，得普通方程为：,小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。,例4：已知线段BB=4，直线l垂直平分BB=于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P，使OP.OP9 。求直线BP与直线BP，的交点M的轨迹方程。,分析 以O为原点，l为x轴，BB为y轴建立一直角坐标系xoy，如右图所示，则B(0,2),B(0,-2).,如图可知，当P点的位置一定时， P点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标为参数。,直线BP的方程为：,直线,的方程为：,两直线方程化简为：,解和组成的方程组。可得直线BP与,的交点坐标为：,消去参数a，得：,本题也可将直线BP和,的方程变形为：,、两式相乘，得,小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。,所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和,
