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1、Section8_1,第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值及最大值、最小值,定义 设函数 z = f (x , y) 定义域为 D ， 为,为 D 的内点. 若存在 的某个邻域 ，使得,对于该邻域内异于 的任意点 (x , y) ，都有,则称 f (x , y) 在点 有 极大值（极小值） ,点 称为 f (x , y) 的 极大值点（极小值点）.,极大值、极小值统称为 极值 .,使得函数取得极值的点,称为 极值点 .,Section8_1_1,定理 1（必要条件） 设函数 z = f (x , y) 在点,处具有偏导数，且在点 处有极值，则有,驻点 使 的点.,例1. 考察下列
2、函数在点 P (0 , 0) 处取极值情况：,Section8_1_2,令,取得 极大值 ，当 A 0 时取得 极小值 .,的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又,定理 2（充分条件） 设函数 z = f (x , y) 在点,则 f (x , y) 在点 处是否取得极值的 条件 如下：, 当 时，取得极值，且当 A 0 时, 当 时，没有极值 ., 当 时，不能确定 ，需进一步讨论.,例2. 考察 与 在点 (0 , 0) 处取,极值情况., 设函数 f (x , y) 在有界闭区域 D 上连续. 如果,Section8_2,D 内的驻点，,f (x , y) 在 D 内可微，且只有有限
3、个驻点，则 f (x , y),在 D 上的 可能最值点,函数 f (x , y) 在 D 上的最值点.,二、最值问题,D 的边界上的最值点., 如果根据问题的性质，可微函数 f (x , y) 在 D,内取得最值，且在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是,Section8_2_1,问：当长、宽、高各为多少时，才能使用料最省？,例4. 现用铁板制作一个体积为 的有盖长方体水箱.,条件极值 函数 z = f (x , y) 在条件 (x , y) = 0 下,Section8_3,的极值.,若引入辅助函数,三、条件极值 拉格朗日乘数法,考察： 在条件 (x , y) = 0 下，函数 z = f (x , y) 在,点 处取得极值的必要条件：,则极值点满足,辅助函数 L (x , y) 称为 拉格朗日函数，参数 称为,Section8_3_1, 作拉格朗日函数,下的 可能极值点 .,得到的解 (x , y) 即是函数 z = f (x , y) 在条件 (x , y) = 0, 解方程组,利用拉格朗日乘数法求极值的 基本步骤：,拉格朗日乘数 ., 在实际问题中，可根据问题的性质判定所求得,的点是否为极值点.,Section8_3_2,面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小.,例5. 设曲面,在该曲面第 I 卦限部分求一点 P ，使在该点处的切平,Section1_1_X,自定义放映,
