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1、1,全微分的定义,可微的条件,小结 作业,total differentiation,第三节 全 微 分,第八章 多元函数微分法及其应用,2,函数的变化情况.,偏导数讨论的只是某一自变量变化时,函数的变化率.,现在来讨论当各个自变量同时变化时,3,先来介绍,全增量的概念,为了引进全微分的定义,全增量.,域内有定义,函数取得的增量,全增量.,一、全微分的定义,5,可微与偏导数存在有何关系呢？,?,微分系数,全微分有类似一元函数微分的,A=? B=?,两个性质:,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.,的线性函数;,高阶无穷小.,6,1. 可微分的必要条件,( 可微必可导).,定理1,(可微必要
2、条件),如果函数,可微分,且函数,的全微分为,二、可微的条件,7,证,总成立,同理可得,上式仍成立,此时,的某个邻域,如果函数,可微分,8,都不能保证函数在该点连续.,多元函数在某点可微是否保证,事实上,显然,答:,由全微分的定义有,可得,多元函数可微必连续,连续的定义,?,不连续的函数,上一节指出,多元函数在某点各个偏导数,即使都存在,函数在该点连续,如果函数,可微分,则函数在该点连续.,一定是不可微的.,9,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,如，,下面举例说明,二元函数可微一定存在两个偏导数.,一元函数在某点的导数存在 微分存在,?,但两个偏导数都存在函数也不一定可微.,(由偏导数定义可
3、求得),由定理1知,10,则,说明它不能随着,而趋于0,因此,如果考虑点,沿直线,趋近于,11,说明,这也是一元函数推广到多元函数出现的又,函数是可微分的.,多元函数的各偏导数存在并不能保证,全微分存在.,一个原则区别.,现再假定函数的,则可证明,各个偏导数连续,12,2. 可微分的充分条件,定理2,(微分充分条件),偏导数,证明:省略,13,在原点(0,0)可微.,并非必要条件.,如,事实上,注,定理2的条件,(即两个偏导数,在点,连续),可微的充分,仅是函数,在点,条件,同样,14,在原点(0,0)可微.,于是,15,即函数f(x,y)在原点(0,0)可微.,但是,事实上,偏导数在原点(0
4、,0)不连续.,所以,特别是,不存在.,即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.,极限,函数在一点可微,此题说明:,在这点偏导数不一定连续.,16,记全微分为,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,叠加原理也适用于二元以上函数的情况.,习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理,如三元函数,则,17,解,计算函数,在点,的全微分.,所以,例,18,解,例,19,答案,练习,20,解,例,试比较,的值.,21,2002年考研数学一, 3分,考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质:, f (x, y)在点(x0 , y0)处连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续
5、, f (x, y)在点(x0 , y0)处可微,f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在.,若用“”,表示可由性质P推出性质Q,则有,单项 选择题,22,连续.,D,结论不正确的是( ).,都存在,23,D,24,填空题,25,(非),事实上,是非题,26,全微分的定义,全微分的计算,多元函数极限、连续、偏导、可微的关系,(注意：与一元函数有很大的区别),可微分的必要条件、,可微分的充分条件,三、小结,27,对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：,可微 可导 连续 有极限,对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：,偏导连续 可微 连续 有极限,有偏导,28,问,全微分公式,恒成立吗?,答,不一定.,考虑函数,思考题1,29,作业,习题8-3 (28页),1.(3) (4) 2. 3.,30,(A) 偏导数不存在;,(B) 不可微;,(C) 偏导数存在且连续;,(D) 可微.,(选择正确答案),补充题,
