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1、2020/8/6,1,第四节 几种特殊类型函数的积分,第四章,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,（见本节第一段）,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,本节内容:,（Integration of several kinds of Special Functions）,2020/8/6,2,一、 有理函数的积分,(Integration of Rational Function),两个多项式的商表示的函数.,有理函数的定义：,2020/8/6,3,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,有理函数有以下性质
2、： 1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例如，我们可将,化为多项式与真分式之和,2020/8/6,5,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：,2020/8/6,6,为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法,例1,2020/8/6,7,例2,通分以后比较分子得：,2020/8/6,8,我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到,2020/8/6,9,例3,整理得,2020/8/6,10,例4 求积分,解：,例2,2020/8/6,11,例5 求积分,
3、解：,例3,2020/8/6,12,解: 原式,思考: 如何求,提示:,变形方法同例6,并利用 第三节 例9 .,例6 求,2020/8/6,13,注意：,有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：,多项式；,主要讨论（3）积分,2020/8/6,14,其中,并记,令,2020/8/6,15,第三节 例9,结论：,有理函数的原函数都是初等函数.,2020/8/6,16,解:,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例7（补充题） 求,2020/8/6,17,解: 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,例8 （补充题） 求,点击
4、看“常规解法”,2020/8/6,18,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,按常规方法解:,2020/8/6,19,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,t 的有理函数的积分,1. 三角函数有理式的积分,则,2020/8/6,20,2020/8/6,21,2020/8/6,22,例9 （课本例5）求,解：令,则,2020/8/6,23,例10（补充题） 求,解：,一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。,由此可以看出，万能代
5、换法不是最简方法， 能不用尽量不用。,2020/8/6,24,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,例11（1987.III) 求,2020/8/6,25,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,2. 简单无理函数的积分,2020/8/6,26,解: 令,则,原式,例12（课本 例7）求,2020/8/6,27,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,例13 求,（自学课本 例8）,2020/8/6,28,解: 令,则,原式,例14 求,（自学课本 例9）,2020/8/6,29,本节小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,2020/8/6,30,课后练习,习题4-4 奇数题,思考与练习,1. 如何求下列积分更简便 ?,解: （1）,（2） 原式,2020/8/6,31,解法 1,令,原式,2. 求,2020/8/6,32,解法 2,令,原式,2. 求,2020/8/6,33,解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,原式,3. 求,
