《2014届高考数学(文)一轮复习课件：导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(新人教A版)教学材料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学(文)一轮复习课件：导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(新人教A版)教学材料（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二节 导数在研究函数中的应用与 生活中的优化问题举例,三年36考 高考指数: 1.了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会利用导数解决某些简单的实际问题.,1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的极值(最值)是考查重点； 2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点； 3.题型有选择题和填空题，难度较小；与
2、方程、不等式等知识点交汇则以解答题为主，难度较大.,【即时应用】 (1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是_. (2)设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是_.,(3)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_. 【解析】(1)在(0，2)上有f(x)=1-cosx0，所以f(x)在(0,2)上单调递增. (2)由导函数图象知，f(x)在(-,0)上为正，在(0,2)上为负，在(2,+)上为正，所以f(x)在(-,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，在(2,+)上是增函数，比较，只有符合
3、.,(3)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0恒成立， 即=4-12m0，m 答案：(1)单调递增 (2) (3)m,2.函数极值的概念 (1)极值点与极值 设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性_ (或导数值异号)，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极 值. (2)极大值点与极小值点 若先增后减(导数值先正后负)，则x0为_点. 若先减后增(导数值先负后正)，则x0为_点.,相反,极大值,极小值,【即时应用】 (1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“”或“”) 导数为零的点一定是极值点 ( ) 函数f(x)在点x0及附近有
4、定义，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值 ( ) 函数f(x)在点x0及附近有定义，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值 ( ),(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为_. (3)函数f(x)=x3+3x2-9x的极值点为_.,【解析】(1)导数为零只是函数在该点取极值的必要条件， 正确，f(x0)为极小值，故错误. (2)从f(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，所以f(x)在(a，b)内
5、只有一个极小值点；,(3)由f(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3, 当x-3时，f(x)0, 当-3x1时，f(x)0, 当x1时，f(x)0, x=1和x=-3都是f(x)的极值点. 答案：(1) (2)1 (3)x=1,x=-3,3.函数极值与最值的求法 (1)求可导函数极值的步骤： 求导数f(x)； 求方程f(x)=0的根； 列表，检验f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性)，确定是否为极值，是极大值还是极小值.,(2)求函数y=f(x)在闭区间a,b上的最值可分两步进行： 求y=f(x)在(a,b)内的_； 将函数y=f(x)的各
6、极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较， 其中最大的一个为_，最小的一个为_.,极值,最大值,最小值,【即时应用】 (1)思考：最值是否一定是极值？ 提示：不一定.如果最值在端点处取得就不是极值. (2)函数f(x)=3x-4x3，x0,1的最大值是_. 【解析】由f(x)=3-12x2=0得x= f(0)=0，f( )=1，f(1)=-1， f(x)max=1. 答案：1,(3)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)=_. 【解析】f(x)=3x2+2ax+b，由题意 即 得a=4或a=-3. 但当a=-3时，b=3,f(x)=3x2-6x+30，故不
7、存在极值， a=4，b=-11，f(2)=18. 答案：18,4.导数的实际应用 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系)，再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中要时刻注意实际问题的意义.,【即时应用】 (1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位： 万件)的函数关系式为y= +81x-234，则使该生产厂家获得 最大年利润的年产量为_. (2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成 两块，其中一块是梯形，记S= 则S的最小值是 _.,【解析】(1)y=-x2+81,令y=0得
8、x=9或x=-9(舍去)，当x9时y0； 当x9时y0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值； 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件. (2)设剪成的小正三角形的边长为x， 则：S=,S(x)= = 令S(x)=0(0 x1),得x= 当x(0, )时，S(x)0,S(x)递减； 当x( ,1)时，S(x)0,S(x)递增； 故当x= 时，S取得最小值 答案：(1)9万件 (2),利用导数研究函数的单调性 【方法点睛】1.导数在函数单调性方面的应用 (1)利用导数判断函数的单调性； (2)利用导数求函数的单调区间； (3)已知函数单调性，求参数的范围.,2.导数法求函数单调区间的一般步骤
9、 第一步：求定义域：求函数y=f(x)的定义域 第二步：求根：求方程f(x)=0在定义域内的根 第三步：划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间 第四步：定号：确定f(x)在各个区间内的符号 第五步：结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数y=f(x)的单调区间. 【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间.,【例1】(1)(2011山东高考)函数y= -2sinx的图象大致是 ( ),(2)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2: 若a= 求f(x)的单调区间； 若当x0时f(x)0，求a的取值范围. 【解题指南】(1)排
10、除法与求导相结合，根据导数与函数单调 性的关系判断. (2)当a= 时，函数的解析式是具体的，只需解不等式f(x) 0和f(x)0即可得到单调区间；求a的范围时构造函数， 对a分类讨论求解.,【规范解答】(1)选C.当x=0时，y=0，排除A. 当x2时，y= -2sinx0，排除D. 由y= -2cosx0得cosx 在满足上式的x的区间内，y是减函数. 由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个, B不正确，C正确.,(2)a= 时，f(x)=x(ex-1)- x2， f(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当x(-,-1)时,f(x)0; 当x(-1,0)时，f(x
11、)0; 当x(0,+)时，f(x)0. 所以f(x)在(-,-1)和(0,+)上单调递增， 在(-1，0)上单调递减. 故f(x)的单调递增区间为(-,-1),(0,+),单调递减区间为(-1,0).,f(x)=x(ex-1-ax). 令g(x)=ex-1-ax，则g(x)=ex-a. 若a1，则当x(0,+)时， g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)=0， 从而当x0时,g(x)0，即f(x)0. 若a1，则当x(0,lna)时，g(x)0， g(x)为减函数，而g(0)=0， 从而当x(0,lna)时,g(x)0，即f(x)0. 综合得a的取值范围为(-,1.,【互动探究】若本例(2)
12、第问中条件改为“若当x0时，f(x)0”，则a的取值范围是_. 【解析】由例题知，若a1，则当x(-,0时，g(x) 为减函数，而g(0)=0，g(x)0,f(x)0. 若0a1，则当x(lna,0)时，g(x)为增函数，而g(0)=0，g(x)0,f(x)0,不合题意，若a0,则当x(-,0时，g(x)为增函数，而g(0)=0,g(x)0,f(x)0,不合题意，a的取值范围是1,+). 答案：1,+),【反思感悟】1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原则，一定要注意先求定义域. 2.恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化”的方法.,【变式备选】已知函数f(x)=x3-ax-1.
13、 (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.,【解析】(1)由已知f(x)=3x2-a, f(x)在(-,+)上单调递增， f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立， 即a3x2对xR恒成立. 3x20,只需a0, 又a=0时，f(x)=3x20且只有f(0)=0, 故f(x)=x3-1在R上是增函数，a0.,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立， 得a3x2在(-1,1)上恒成立. -1x1,3x23,只需a3. 当a=3时，f(x)=3(x2-1),
14、在(-1,1)上，有f(x)0, 即f(x)在(-1，1)上为减函数，a3. 故存在实数a3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.,利用导数研究函数的极值(最值) 【方法点睛】1.应用函数极值应注意的问题 (1)注意极大值与极小值的判断. (2)已知极值求参数的值:注意f(x0)=0是可导函数y=f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件. 2.数形结合求参数的范围 利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范围.,【例2】(2011重庆高考)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f(x), 若函数y=f(x)的图象关于直线x= 对称，且f(1)=0
15、. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值. 【解题指南】y=f(x)的图象是抛物线，易确定对称轴，从而可 求a，b；然后按照求函数极值的步骤求极值即可.,【规范解答】(1)f(x)=6x2+2ax+b=6(x+ )2+b- 函数 y=f(x)的图象关于直线x= 对称， 所以 又f(1)=06+2a+b=0b=-12； (2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f(x)=6x2+6x-12， 令f(x)=0得x1=-2,x2=1； 所以函数f(x)在(-,-2)上递增，在(-2,1)上递减，在(1,+)上递增，所以函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21，在
16、x=1处取得极小值f(1)=-6.,【反思感悟】1.求函数的极值时，极易弄混极大值、极小值. 2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，为数形结合解题提供了方便.,【变式训练】(2012济南模拟)定义在R上的函数f(x)=ax3+ bx2+cx+3同时满足以下条件： f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，+)上是增函数； f(x)是偶函数； f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设g(x)=4lnx-m，若存在x1，e，使g(x)f(x)，求实数m的取值范围.,【解析】(1)f(x)=3ax2+2bx+c， f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，+)上是增函数， f(1)=3a+2b+c=0 由f(x)是偶函数得：b=0
