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1、1 引 言,第3章 矩阵特征值问题计算,物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。,2 幂法及反幂法,一、幂法,幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值1及其对应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。,A=1 1 0.5;1 1 .25;.5 .25 2 u=1,1,1 v=A*u,v1=max(v),u=v/v1,二、加速方法,三、反幂法,反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。,反幂法计算公式:,format long;A=2 1
2、0;1 3 1;0 1 4,p=1.2679,B=A-p*eye(3); L U P=lu(B);L,U,P,v=U1 1 1, mu=max(v);u=v/mu, v=U(L(P*u), mu=max(v);u=v/mu,lamda=p+1/mu,3 Householder方法,一、引言,本节讨论两个问题:,4 QR方法,Rutishauser(1958)利用矩阵的三角分解提出计算矩阵特征值的LR算法，Francis(1961,1962)利用矩阵的QR分解建立计算矩阵特征值的QR方法.,QR方法是一种变换方法，是计算一般(中小型)矩阵全部特征值问题的最有效方法之一.,目前QR方法主要用来计算： （1）上海森伯格阵全部特征值问题； （2）对称三对角阵全部特征值问题.,下面先介绍求非奇异矩阵的全部特征值的基本QR方法， 再讨论上海森伯格阵和对称三对角阵的全部特征值问题.,一、基本QR方法,Q R=qr(A),A=R*Q,二*、带原点位移的QR方法,三*、用单步QR方法计算上海森伯格阵特征值,四*、双步QR方法(隐式QR方法,略),
