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1、1,第八章 均值方差资产组合理论,马柯维茨(Marowitz)定义证券资产组合收益的数学期望为预期收益，用方差来衡量资产的风险大小，简称二参数法。二参数法确立了在资产结构中把风险和预期收益结合起来考虑的原则，否定了传统投资学中将预期收益最大化作为决策准则的思想。,2,第一节 资产组合的期望收益与标准差,一、单个证券的期望收益与方差 设可供某投资者选择的证券有N种，对于任一种证券，其收益有M种可能性，我们用Rij表示证券i在第j种可能性下的收益，用Pij表示第i种证券的收益率出现第j种可能性的概率。则第种种证券收益的期望收益率为：,3,第一节 资产组合的期望收益与标准差,收益均值大小只表示某证券
2、收益的期望值。对两种证券比较优劣时，不能光凭收益均值大小来决定，还要考虑各证券的风险程度。而风险程度的大小我们用收益率的标准差来衡量。收益率偏离均值越厉害，也就是标准差越大，它表示证券收益的变化越厉害，风险也越大。P210 表8.2 不同投资者会有不同选择。 第i种证券收益的方差定义为：,5,第一节 资产组合的期望收益与标准差,A证券的期望收益与方差计算：,6,第一节 资产组合的期望收益与标准差,二、资产组合的期望收益率与方差 在上例中，我们可以大致比较5种资产的情况：当两者标准差或方差（风险指标）相同，选择均值大的；两者均值相同选择方差小的。但问题并不仅仅限于此，我们还要考虑选择各种证券，并
3、构成一个“组合体”，这个组合的期望值和方差又会怎样呢？请看：,此时，均值为1.10，而方差等于0，也就是该组合的风险没有了。这一现象并不奇怪，也非本例所特有。,7,第一节 资产组合的期望收益与标准差,假设某投资者用N种证券组成了他的资产组合，设该资产组合用P表示，投资在证券i上的资本量占总投资的比例为Xi，（i=1,2,N）则有：,(j=1，2，M),8,第一节 资产组合的期望收益与标准差,Rpj表示在第j种可能结果下组合P的收益率，因此P的期望收益率为：,9,第一节 资产组合的期望收益与标准差,组合收益的方差: 设证券组合只包含两种证券，由概率论知识可知：,其中1、2分别为这两种证券的标准差
4、，而12为这两种证券的协方差。12符号不同，影响不一样。协方差反映了该两证券收益变动之间的联系，120表示两证券收益同方向变化，120表示两证券收益反方向变化，12=0表示他们互相独立。,10,如上例 B和C组成的组合，计算见p212,11,第一节 资产组合的期望收益与标准差,对于包含有N种证券的资产组合P，其方差由下式决定：,若该组合是等比例地投资在各证券上，即投资在各种证券上的资本量相等，则有：,其中， 是N种证券方差之平均值， 是N*(N-1)/2种协方差的平均值。,12,第一节 资产组合的期望收益与标准差,三、资产组合的风险分散原理 对每个证券组合而言，组成组合的单个资产的风险 称为可
5、分散化风险，也称作非系统风险或个股风险，而 则为不可分散化风险，也称作系统风险或市场风险。,13,10203040 1500+,Company Specific risk,Market Risk,sp % 35 20 0,Total Risk, sP,14,第一节 资产组合的期望收益与标准差,四、偏斜度和证券组合分析 许多证券分析家建议，仅仅用证券收益分布的二个特征值尚不足以准确地反映收益的随机变化性，还必须再增加一个特征值“偏斜度”来作出补充。所谓偏斜度是测量收益分布的非对称性情况的。,15,r,s.d.,s.d.,Symmetric distribution,Normal Distribu
6、tion,16,r,Negative,Positive,Skewed Distribution: Large Negative Returns Possible,Median,17,r,Negative,Positive,Skewed Distribution: Large Positive Returns Possible,Median,18,第二节 有效资产组合曲线,一、不存在无风险借贷 1不允许卖空 设定Xi为投资在第i种证券上的资产价值比例，在不存在无风险借贷且不允许卖空的假设下显然有：,且Xi0，因为“卖空”行为在经济意义上相当于负投资。,19,第二节 有效资产组合曲线,仍设有A、B
7、两种证券，其中相关系数为,20,（1）若设 , 则有 其中：0XA1 上面方程组的XA为共同参数，二方程均为线性方程，若消去参数XA，可得、线性方程如下：,上述方程类似于,其图形如p217 图8.3,21,（2）若设 , 则有 由于上式中括号中的值可能为负数，故： 或者,图形如p218 图8.4,22,3）下面再讨论AB=0的情况，也就是两证券之间线性无关。此时有,图形p219 图8.5,23,6 - 9,24,从图8.7中得到如下结论：对所有的证券资产而言，总存在着某一个值，使资产组合风险（P）不可能比单个证券中的最小风险（i）小。如上例中的=0.5，=1时的情况。但当=0及=-1时，其P可
8、能会比单个证券的最小风险A小。,25,另外也我们注意到：AB直线（AB=1）为组合体的方差（P）最大时的情况，通过数学方法可以证明任何两个证券的组合体之方差不可能再落到AB直线的右边。同时，AB=-1时亦为另一极端。所以，三角形ABC为组合体方差P及收益之关系所可能落在的区域。对-1AB1中任一AB之定值，其对应的证券组合体的可能性曲线只会在此区域内，如=0及=0.5时的情况。,26,第二节 有效资产组合曲线,2.组合可能性曲线的形状 P221 图8.8 不可能的形状图8.9 （1）不允许卖空条件下的有效边界。 在不允许卖空情况下，投资者所有可能的组合的点集合如图8.10，其中C点为最小风险点
9、。然而，由于我们假定了投资者两个行为原则，因此他只可能选择B、C曲线上的某一点。,27,第二节 有效资产组合曲线,28,第二节 有效资产组合曲线,（2）允许卖空下的有效边界 例子：设期初投资者拥有资金2000元，A股票价格为10元，B股票价格为10元，但投资预测1个月后A价格会上升，B价格为下降。于是他卖出B股票100股，同时买入A股票300股，则A、 B股票的投资比例分别为1.5和-0.5，即XA+XB=1，如果一个月后A、B股票价格分别为11元、9元，则,组合的收益率为,29,第二节 有效资产组合曲线,不管是否允许卖空，如下等式始终成立：,其有效边界为CB及向右上外延部分，如图8.11（P
10、223),30,第二节 有效资产组合曲线,二、存在无风险借贷 设RF为无风险证券资产利率，X为投放在A上的资本比例，（1X）就是投放在无风险资产上的比例，新的资产组合设为C，则有,(X0),31,故有 得：,32,P224-225 图8.13 无风险资产与各种风险资产组合构成的投资组合 图8.14 有无风险贷出而无借入时证券组合的有效边界 图8.15 借入和贷出利率不等时证券组合的有效边界,33,三、考虑不同投资者效用下的最优资产配置 图8.16 不同投资者的效用函数 图8.17 不同风险厌恶程度的投资者的资产配置,34,第三节 有效边界的数学描述及计算技术,一 、允许卖空且有无风险借贷,35
11、,第三节 有效边界的数学描述及计算技术,设为夹角。求最大即为求最大tg值，所以此问题可归结为下述数学规划问题：,可整理得出如下方程组,(I=1,2,N),36,设有A、B、C三家股份有限公司，各公司股票收益的特征值由表8.11给出。 表7.11 A、B、C三家公司股票收益的特征,37,假设无风险借贷利率均为5% 简化后解方程组得： Z1=14/63，Z2=1/63，Z3=3/63 进一步由公式 X1=14/18，X2=1/18，X3=3/18,38,二、允许卖空但没有无风险借贷 解决问题的思路是：认为无风险资产存在，然后再假设一系列的RF值。 如：RF=4%、5%、6%，分别找出对应的最佳风险
12、资产组合A、B、C这些点，即构成了有效边界曲线。,39,1一般解法 当RF为某一值时，最佳风险资产组合中各风险资产比例Xi由下列方程组决定： 对方程组求解Zi，则可求解出形如 Zi=C0i+C1iRF，i=1，2，N,40,仍用前述例子的数据，可得： 14-RF36Z1+9Z2+18Z3 8-RF9Z1+9Z2+18Z3 20-RF18Z1+18Z2+225Z3 解此方程组得： 如此，给RF以不同的值，将得到一系列不同的（Z1、Z2、Z3）值，从而构画出有效边界曲线。,41,2特殊解法,前面我们已从一般解法中得知Zi=C0i+C1iRF。若我们任意选定两个RF值：RF和RF，则可以从上面一般方
13、程组中得到相应的Zi和Zi值。这样就可以通过方程组： Zi=C0i+C1i RF Zi=C0i+C1i RF 求出C0i和C1i，得出Zi的一般表达式，最终也就可以得到整个有效边界。,42,第四节 国际分散化,一、外国证券风险 p232 二、国际分散化证券组合的收益 p232-233 三、汇率风险的影响 p233,43,习题,一位养老基金管理人正在考虑三种共同基金。第一种是股票基金，第二种是长期政府债券与公司债券基金，第三种是收益率为8%的短期国库券货币市场基金。这些风险基金的概率分布如下： 期望收益 标准差 股票基金（S） 20% 30% 债券基金（B） 12% 15% 基金的收益率之间的相
14、关系数为0.10,44,1.两种风险基金的最小方差资产组合的投资比例是多少？这种资产组合收益率的期望值与标准差各是多少？ 2.制表并画出这两种风险基金的投资机会集合，股票基金的投资比例从0%到100%按照20%的幅度增长。 3.从无风险收益率到机会集合曲线画一条切线，由此得到的最优资产组合的期望收益与标准差各是多少？ 4.计算出最优风险资产组合下每种资产的比例以及期望收益与标准差。 5.最优资本配置线下的最优报酬与波动性比率是多少？ 6.投资者对他的资产组合的期望收益率要求为14%，并且在最佳可行方案上是有效的。 a 投资者资产组合的标准差是多少？ b 在短期国库券上的投资比例以及在其他两种风险基金上的投资比例是多少？ 7.如果投资者只用两种风险基金进行投资并且要求14%的收益率，那么投资者的资产组合中的投资比例是怎样安排的？把现在的标准与第6题比较，得出什么结论。 8.假设投资者面对同样的机会集合，但是不能够借款。投资者希望只由股票与债券构成期望收益率为24%的资产组合。合适的投资比例是多少，标准差是多少？如果投资者被允许以无风险收益率借款，那么投资者的标准差可以降低多少？,45,作业,P236 1-7,
