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1、1,第九章 多元线性回归的异方差问题,一、异方差及其影响 二、异方差的发现和判断 三、异方差的解决方法,2,一、异方差及其影响,1、异方差的定义： 对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。异方差可以表示为 。 或,3,两变量线性回归模型的异方差,5,2、异方差的影响,1、OLS估计量不再是BLUE，其是无偏和一致的，但并非有效的，即不再具有方差最小性。 2、检验假设的统计量不再成立，建立在t分布和F分布之上的置信区间和假设检验不可靠。,6,二、异方差的发现和判断,（一）残差的图形检验 （二）帕克检验（Park tes
2、t） （三）戈里瑟检验（Glejser test） （四）怀特检验（White test）,7,（一）残差的图形检验,这是一种最直观的方法，它以某一变量（通常取因变量）作为横坐标，以随机项的估计量e或e2为纵坐标，根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残差序列，再把它和因变量一起绘制散点图。 例6-2：利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量的模型中QMG与残差的散点图。,8,（二）Breusch-Pagan检验,假设回归模型如下： 检验假定线性函数,9,步骤： 1、作普通最小二乘回归（1），不考虑异方差问题。 2、从原始回归方程中得残差ui
3、，并求其平方。 3、利用原始模型中的解释变量作形如上式(2)的回归，记下这个回归的R平方 。 4、检验零假设是 对方程（2）进行F检验，或计算LM统计量进行检验。,10,（三）戈里瑟检验,1、通常拟合 和 之间的回归模型： 根据图形中的分布选择 2、再检验零假设 0（不存在异方差）。如果零假设被拒绝，则表明可能存在异方差。,11,（四）怀特检验,假设有如下模型： （3） 基本步骤： 1、首先用OLS方法估计回归方程（3）式。 2、然后作辅助回归： （4）,12,3、求辅助回归方程的R2值。在零假设：不存在异方差下，White证明了，从方程（4）中获得R2值与样本容量（n）的积服从卡方分布 自由
4、度等于（4）式中的解释变量的个数。 4、根据样本计算统计量n*R2值，并与所选取的显著性水平进行比较，看是否接受零假设（零假设为残差不存在异方差性）。 5、Eviews计算：View-Residual Tests-White Heteroskedasticity . 应用：对例6-1进行White异方差检验,（四）怀特检验,13,等价的White检验 （1）用OLS估计模型（3），得到残差和拟合值，计算它们的平方； （2）做回归 记下这个回归的R平方 （3）构造F或LM统计量并计算p值（前者为 F2，n3分布，后者用 分布。,14,（五） 实例,使用Wooldridge中的数据HPRICE.R
5、AW中的数据来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行回归分析） 发现：采用水平模型存在异方差性，但采用对数模型不存在异方差性。,15,三、异方差的解决方法,加权最小二乘法 模型的重新设定,16,（一）加权最小二乘法,基本思路：赋予残差的每个观测值不同权数，从而使模型的随机误差项具有同方差性。,17,（一）加权最小二乘法,方差已知的情形 假设已知随机误差项的方差为var(ui)= i2 , 设权数wi与异方差的变异趋势相反, wi =1/i, 将原模型两端同乘以wi。wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。,18,（一）加权最小二乘法,
6、方差已知的情形 对于一元线性回归模型y=b0+b1x+u，加权最小化残差平方和为 获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回归模型y=Xu，令权数序列wi =1/i ，W为NN对角矩阵，对角线上为wi ，其他元素为0。则变换后的模型为,19,（一）加权最小二乘法,方差已知的情形 （1）误差方差与xi成比例 Var(ui)=2 * xi 其中2为常数，这时可以令权序列 （2）误差方差与xi2成比例 Var(ui)=2 * xi2 其中2为常数，这时可以令权序列,20,（一）加权最小二乘法,方差已知的情形 实例：住房支出模型 给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据，建立住房支出模型，
7、并检验和修正异方差。 （3）其他的与自变量xi的加权形式f(xi),21,（一）加权最小二乘法,方差已知的情形,22,（一）加权最小二乘法,（4）用随机误差项的近似估计量求权重序列 首先利用OLS估计原模型得到残差序列 ，然后利用残差序列的绝对值的倒数序列作为加权序列，即令 实例：采用该方法修正6-1模型的异方差性,23,（一）加权最小二乘法,OLS是加权最小二乘法的特例 显然，当满足同方差假定时， w1 = w2 = = wn = 1/ = 常数 即权数相等且等于常数，加权最小二乘法，就是OLS法。,24,纠正异方差性的一个可行程序,（1）将y对x1, x2,xk做回归并得到残差u; （2）
8、将残差进行平方，然后再取自然对数而得到log(u2); （3）做log(u2)对x1, x2,xk的回归并得到拟合值g； （4）求拟合值的指数：h=exp(g) （5）以1/h为权数用WLS来估计方程。 在（3）中做log(u2)对 的回归本质上是完全一样的,25,实例： 采用Wooldridge中的数据Smoke.Raw中的数据来估计一个对日香烟消费量的需求函数。 基本回归模型如下： cigs=a0+a1log(income)+a2log(cigpric)+a3educ +a4age+a5age2+a6restaurn 其中cigs为每天吸烟的数量； income为年收入； cigpric为
9、每包香烟的价格（以美分为单位）；educ为受教育年数；age为年龄；restaurn为一个二值变量（若此人居住的州禁止在餐馆吸烟，则取值1，否则取值0）。,26,（二）模型的重新设定,在计量经济学实践中，计量经济学家偏爱使用对数变换解决问题，往往一开始就把数据化为对数形式，再用对数形式数据来构成模型，进行回归估计与分析。 这主要是因为对数形式可以减少异方差和自相关的程度。,27,案例居民储蓄模型估计,1、问题的提出 2、初步模型估计 3、异方差检验 4、异方差模型的估计 加权LS法和模型变换法,28,1、问题的提出,储蓄是居民的金融消费，也是满足相应收入水平的“基本生活”以后的扩展消费，从具体
10、问题的经验分析，储蓄具有异方差特性。因此建立储蓄模型就不能使用最小二乘法。,29,2、初步模型估计,首先，估计居民储蓄与可支配收入之间的回归模型,30,残差与收入x的散点图,31,3、异方差检验,图示法检验： 残差平方与自变量呈比较典型的喇叭型,32,33,异方差：残差随收入增大而增大,34,4、异方差模型的估计,加权最小二乘法 在分析收入对储蓄的影响的时候，权数变量可以选取 hi=inci 于是基本模型savi=a0+a1 inci+ei变为,35,权数序列名,Proce=Equation=Option=选定异方差、给出权数名=OK,同质性,36,加权最小二乘法估计结果,37,加权最小二乘法残差与X的散点图,38,WLS处理后的残差图,
