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1、多元线性回归分析,温医公卫学院,例15-1 27名糖尿病人的血清总胆固醇、甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红蛋白、空腹血糖的测量值列于表15-2中，试分析哪些指标能影响血糖水平，并血糖建立与其它几项关系的这些指标的回归关系。,b0为回归方程的常数项； p为自变量的个数； b1、b2、bp为偏回归系数（Partial regression coefficient） 意义：如 b1 表示在X2、X3 Xp固定条件下，X1 每增减一个单位对Y的效应（Y增减 b 个单位）。,表达式：,一. 多元回归方程的概念,二. 多元回归分析步骤,（1）用各变量的数据建立回归方程；,由上表 得到如下多元线性回归方程：,
2、（2）对总的方程进行假设检验,结果无显著性 1）表明所观察的自变量与应变量不存在线性回归关系； 2）也可能由于样本例数过少； 结果有显著性 表明至少有一个自变量与应变量之间存在线性回归关系。,（3）当总的方程有显著性意义时,应对每个自变量的偏回归系数再进行假设检验，若某个自变量的偏回归系数无显著性，则应把该变量剔除，重新建立不包含该变量的多元回归方程。 对新建立的多元回归方程及偏回归系数按上述程序进行检验，直到余下的偏回归系数都具有统计意义为止。最后得到最优方程。,上例资料多元回归方程1的偏回归系数检验结果如下：,有上表可知，X1被剔除。 注意：通常每次只剔除关系最弱的一个因素。 由方程中剔除
3、因素的标准（通常 = 0.10）,重新建立不包含剔除因素的回归方程,对新建立的回归方程进行检验,检验结果有显著性意义,对新方程的偏回归系数进行检验,检验结果有意义，因此回归方程保留因素X2、X3 、X4 最后获得回归方程为：,三. 标准化偏回归系数,定义： 消除测量单位影响后的偏回归系数。 意义： 在许多情况下需要比较各自变量对因变量的相对贡献大小。但由于各自变量的测量单位不同，单从各偏回归系数的绝对值大小来评价是不妥的，必须对各偏回归系数进行标准化处理，即消除测量单位的影响后，才能进行比较。,举 例,例 y = 14 + 4X 是17岁儿童以年龄X(岁)估计体重Y(市斤)的回归方程。若体重单
4、位由市斤换成公斤，则回归系数是否发生改变？,若年龄单位为月？,标准偏回归系数计算,bj = bj Sj / SY bj为X的偏回归系数; Sj为自变量的标准差; SY 为因变量的标准差; 若将各变量先经标准状态化处理后，再进行多元回归，则所得到的偏回归系数即为标准偏回归系数。,上例资料，已知X2 、 X3与 X4 对血糖有影响，但其对血糖的相对作用大小如何？,比较三个标准偏回归系数 0.3540.360 0.4131 1.02 1.17（倍） 糖化血红蛋白对血糖的影响强度约为甘油三脂的1.17倍。,四. 自变量的筛选,（1）向前筛选法（Forward selection） （2）向后剔除法（B
5、ackward elimination） （3）逐步法（Stepwise）,（1）向前筛选法（Forward selection）,事先给定一个入选标准（通常 =0.05），然后根据各因素偏回归平方和从大到小，依次逐个引入回归方程至无显著性自变量可以入选为止，因素一旦入选便始终保留在方程中而不被剔除。,优缺点：可自动去除高度相关的自变量，但后续变量引入会使得方程中已存在的变量重要性发生改变。,因变量与各自变量相关系数大小,向前筛选法， =0.05,向前筛选法， =0.10,为什么总胆固醇会从有意义因素变为无意义？,首先建立全部自变量的全回归方程，给定剔除标准（通常 =0.10 ），根据各因素偏
6、回归平方从小到大，依次逐个将无显著性的自变量从回归方程中剔除。,（2）向后剔除法（Backward elimination）,优缺点：方程不会保留无意义自变量，但可能存在共线性问题。,向后筛选法， =0.10,（3）逐步法（Stepwise）,给出入选标准（通常 1 =0.05）和 剔除标准（ 通常2 =0.10），每次选入一个在方程外且最具统计学意义的自变量后，就对原在方程中的自变量做剔除检验，这个过程逐步进行，直到没有统计意义的自变量可以入选，也没有无统计学意义的自变量保留在方程中为止。,实际工作中，多采用逐步法。,逐步法入选标准1 =0.05和 剔除标准2 =0.10,逐步法入选标准1
7、=0.10和 剔除标准2 =0.15,五、回归方程的总体评价,以确定系数（R2）越大越优，但由于R2是随自变量的增加而增大，因此，在相近的情况下，以包含的自变量少者为优，也可用校正确定系数（ R2a ）作为评价标准。 R2a不会随无意义的自变量增加而增大。 校正确定系数的计算：,P 为方程中包含的自变量个数。,六、多元线性回归的应用,影响因素（多因素）分析 （1）多因素的筛选； 1）哪些是主要因素？ 2）各因素的作用大小？ （2）混杂因素的控制。 例分析某预防措施对社区人群肠道传染病的防制效果 估计和预测 由于考虑到多个因素，可以显著提高估计和预测的精度。 统计控制,七. 应用多元线性回归分析
8、时需注意的事项,（1）资料要求： 因变量Y为连续变量，服从正态分布。 自变量X可为连续或分类变量。 Y与X1、X2、Xm之间具有线性关系。 残差e服从（0，）正态分布。,指观察值与估计值之差。,七. 应用多元线性回归分析时需注意的事项,（2）做预报时，只能在自变量X的观察值范围内进行； 例如：建立儿童期体表面积（Y）与身高（X1）、体重（X2）的线性回归方程，但不能利用该方程来推算某一身高、体重的成人的体表面积。 （3）注意资料的特异点；,（5）观测值重新量化问题。,（4）样本含量 一般应使样本含量是自变量数的510倍。,（6）自变量筛选过程中引入和剔除变量时检验的水准确定 1）引入变量检验的
9、水准小于剔除变量时检验的水准 2）通常引入变量检验的水准为0.05，剔除变量时0.10，但不绝对。,（7）自变量的联合作用分析 若要考虑X1、X2对应变量 y 的联合作用，可设置一个新变量X3= X1X2 上例中，如考虑胰岛素（ X3 ）与糖化血红蛋白（ X4 ）存在交互作用，则设置新变量X5= X3X4 经检验后，有意义，得：,（8）自变量的共线性 当自变量之间存在较强的相关关系时，称之为共线性，对一组存在共线性的自变量进行多元回归分析时，偏回归系数的估计值容易失真。（9）结果分析1）因变量的变异可由自变量解释的比例（R2） 即R2 = SS回 / SS总 2）正确分析入选方程的自变量与因变
10、量之间的关系3）正确分析未入选方程的自变量与因变量之间的关系,（10）残差分析,指观察值与估计值之差。 在正常情况下ei服从均值为0的正态分布。 对上例资料建立的回归方程作残差图分析,第二节 多元线性相关,资料要求：Y与p个自变量X都服从正态分布。 1. 复相关系数（多元相关系数） R,如果 F F(p, n-p-1) , 则在水平上拒绝H0,表示p个自变量共同对应变量的相关密切程度。 R 波动范围在 01 之间，它与r 值不同，没有负值。R值越接近 1，相关越密切。 R值随引入回归方程内的自变量个数增加而增大。,确定系数(R2) 即R2 = SS回 / SS总 , 回归变异占总变异的比值. 它表明由于引入有显著性相关的自变量，使总平方和减少的部分。,2. 校正复相关系数（Ra）和校正确定系数 （R2a） 复相关系数随方程中变量数的增加而增大，即使无显著性的变量进入方程，其值亦增加。校正复相关系数和校正确定系数就是针对这一现象提出的一种校正，当方程中增加无显著性变量时，校正复相关系数和校正确定系数就会减少。,3. 偏相关系数 （rjy）,它表示在其它自变量固定的条件下，某自变量与应变量之间的相关密切程度和方向。 其值也波动在 -11 之间。 上例资料偏相关系数的计算：,THE END,
