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1、第二章 数列极限,二 收敛数列的性质,收敛数列的性质,定理2.2(极限的唯一性) 如果数列xn收敛 那么它的极限唯一,使当nN时, 同时有,因此同时有,这是不可能的. 所以只能有a=b.,证明,一个收敛数列一般含有无穷多个数,而它的极限只是一个数.我们单凭这一个数就能精确地估计出该数列的几乎全体项的大小.以下收敛数列的一些性质,大都基于这一事实.,收敛的数列必定有界.,证,由定义,推论 无界数列必定发散.,1 如果数列an收敛, 那么数列an一定有界 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?,2 数列1, 1, 1, 1, , (1)N1, 的有界性与收敛如何？,讨论,收敛数列的性质,定
2、理2.2(极限的唯一性) 如果数列an收敛 那么它的极限唯一,定理2.3(收敛数列的有界性),如果数列an收敛 那么数列an一定有界,收敛数列的性质,定理2.2(极限的唯一性) 如果数列an收敛 那么它的极限唯一,定理2.3(收敛数列的有界性),如果数列an收敛 那么数列an一定有界,定理2.4(收敛数列的保号性) 如果数列an收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有an0(或an0),推论 如果数列an从某项起有an0(或an0) 且数列an收敛于a 那么a0(或a0),例1,证由定理2.5可得 a0,.,lim,lim,0,a,x,a,x,x,n,n,n,n,n,=,=
3、,求证,且,设,例2,解,由夹逼定理得,定理2.7 (数列极限的四则运算法则),注: 在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列.,收敛数列与其子数列间的关系,例如数列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数列为x2n 1 1 1 (1)2n1 ,在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在 原数列中的先后次序，得到的数列称为子数列：,注1 由定义可见,数列xn的子列xnk的各项都选自xn,并保持这些项在原数列中的先后次序, xnk中的第k项是xn中的第nk项,故有nkk.实际上,nk本身也是正整数数列n的子列. 注2 数列xn本身
4、以及xn去掉有限项后得到的子列,称为xn的平凡子列;不是平凡子列的子列,称为xn的非平凡子列.例如x2k和x2k-1都是xn的非平凡子列.由上节例8可知:数列xn与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且收敛时有相同的极限.,定理2.8,数列xn收敛的充要条件是它的任一非平凡子列都收敛.,这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的极限值，则xn一定是发散的。,定理2.8,数列xn收敛的充要条件是它的任一非平凡子列都收敛.,性质,对于数列 xn,证,此时有,此时有,总之：,恒有,1 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 2 数列的两个子数列收敛,
5、 但其极限不同, 原数列的收敛性如何? 3 发散的数列的子数列都发散吗？,4 如何判断数列1 1 1 1 (1)N1 发散？,定理 (收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列xn收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a,讨论,由此定理可见，若数列,这些子列必收敛于同一个极限。,的任何非平凡子列都收敛，则所有,于是，若数列,或有两个子列收敛而极限不相等，则数列,一定发散。,有一个子列发散，,这是判断数列发散的一个很方便的方法。,小结,(1), 唯一性;,(2), 有界性;,(3), 保号性;,作业,P33: 1(1)(3)(5), 3, 4, (2)(5),(4), 四则运算法则;,(5), 不等式性;,(6), 收敛数列与其子列的关系.,
