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1、1,3.8 方程的近似解,一、问题的提出,二、二分法,三、切线法,四、小结、思考题,2,一、问题的提出,求近似实根的步骤：,确定根的大致范围根的隔离,问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计算方法,3,以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根,常用方法二分法和切线法（牛顿法）,5,总之，,6,7,例,解,如图,8,计算得:,9,10,三、切线法,定义用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）,11,注意：,有如下四种情况:,12,如图，,13,如此继
2、续，得根的近似值,14,牛顿法的误差估计:,由微分中值定理得,则得,说明: 用牛顿法时,若过纵坐标与,异号的端点作,切线 ,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在,15,例,解,16,代入(1),得,计算停止.,17,牛顿法的变形:,(1) 简化牛顿法,若用一常数代替,即用平行,则得简化牛顿迭代公式.,线代替切线,得,优点:,因而节省计算量.,缺点: 逼近根的速度慢一些.,18,(2) 割线法,为避免求导运算 ,用割线代替切线,例如用差商,代替,从而得迭代公式:,(双点割线法),特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法.,说明: 若将上式中,则为单点割线法,逼近,根的速度与简化牛顿法相当
3、.,19,例3. 用切线法求方程,的近似解, 使,误差不超过 0.01 .,解:,由草图可见方程有唯一的正实根 ,且,20,得,而,再求,因此得满足精度要求的近似解,21,三. 一般迭代法,(补充),在隔根区,按递推公式,则 即为原方程的根 .,称为迭代格式 ,初值 .,否则称为发散 .,22,例4. 用迭代法求方程,解法1 将方程变形为,迭代格式为,发散 !,解法2 将方程变形为,迭代格式为,迭代收敛 ,1.32472 为计算精度范围内的所求根 .,23,定理.,(证明略),迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.,可以证明,下述定理:,24,四、小结,求方程近似实根的常用方法:,二分法、切线法（牛顿法）、割线法,切线法实质：特定的迭代法,求方程的根的迭代法是指由根的近似值出发,通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程.,基本思想:,优点:.形式简单便于计算;2.形式多样便于选择.,25,练 习 题,26,练习题答案,
