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一、链式法则,定理1,证明:,注意:一级函数可偏导,二级函数可微;否则不成立,也加强为一级函数可偏导,二级函数有连续偏导。,链式法则如图示,该公式称为求复合函数偏导数的链式法则。,特殊情形,例1,解：,例2,解：,再求导，得,例3,解：,把函数看作复合函数：,按求导公式，则有,证明：,则,证明：,等式两边求导，得,证明：,链式法则的推广1：,如果f全可微，g的各分量函数可偏导，则复合函数可偏导，而且其偏导数计算公式为,也可以写成矩阵形式：,链式法则的推广2：,链式法则的推广3：,二、一阶全微分的形式不变性,（1）如果 u，v 是自变量，结论显然。,（2）如果 u，v 是中间变量，,有全微分：,事实上，,全微分形式不变形的实质：无论 z 是自变量 u，v 的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的.这就是一阶全微分的形式不变性。,推广一：,注意高阶全微分没有形式不变性。,问题1：全微分的求法; 一是先求偏导数，再写成形式,问题2: 全微分的应用.求出全微分后，那么就知道了偏导数。,二是利用微分不变性求全微分。,解：,解,作业：1,2,4,7,解：,
