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1、第二章 高斯光束,一、均匀平面波 如图2-1示，沿Z轴方向传播的均匀平面波，其电矢量为： 其中： 为波数，n为介质折射率（在空气中n1） A0 振幅 均匀平面波的特点：因为振幅A0与（x, y, z）均无关（即为常数），且位相仅与Z有关：,2-1 基模高斯光束,图2-1,1在光束截面上（即与光传播方向垂直的x, y平面上）的光强是相等的； 2在传播方向的任一点（即Z方向）光强度相等（不考虑空气损耗）； 3距离Z相等，则其位相相等，即等相面为垂直于传播方向的平面。 但由激光产生的原理可知：激光束是由光于在谐振腔内进行多次反射后所形成的。因此在腔镜边缘必产生衍射损耗，故在光束截面上，边缘部分的光强
2、必将比中心部分较弱，故激光束不是均匀平面波。,二、均匀球面波 考查由原点（x=y=z=0）向自由空间辐射的球面波矢量为： 其中：r=（x2+y2+z2）1/2为点光源到光矢量传播方向上任一点P（x,y,z）的距离球面半径。 均匀球面波的特点： 1振幅相等的面（即等幅面）为：半经相等的球面 2位相相等的面（即等相面）为：半经相等的球面 3光矢量沿传播方向的光强与传播距离r成反比。,作为 特例：当zx,y，即相距点光源很远的很小球面内，rZ 则 ，与平面波矢量 ，有相似的形式，故可将该小球面内光矢量近似看成平面波（太阳光）： 即在该平面内光强相等，位相相等，同样也不适用激光的特点。那么激光究竟是一
3、种什么光呢？,图2-2,三、基模高斯球面波（变心球面波）矢量 沿Z轴方向传播的高斯光束（激光束），不管是由何种稳定腔产生的，均可用基尔霍夫公式表示为： 其中，A0原点（Z=0）处的中心光振幅，k为波数（n=1） （一）光束参数：W（z），R（z）： 在进行光学设计时（激光光学系统），应已知两个光束的特征参数。,即，任一点处的光斑大小和该点的波阵面半径： （1）在Z点处的光斑半径： 特点：光斑半径非线性可变。 （2）在Z 点处的波阵面半径： 特点：波阵面半径非线性可变。 （二）膜参数W0： 以上公式中，涉及一个很重要的参数W0（束腰半径）膜参数 对稳定球面腔： 通用公式：,图2-3,特例：若对平
4、凹稳定腔（氪氖激光器多采用），令R1=R，R2=代入上式 即，已知激光器腔参数R、l可求得膜参数W0 例，设=0.632810-3mm，R=500 mm，l=250 mm， 则 * 基模发散角（远场发散角）半角 对平凹稳定腔而言 （2-7） 基膜发散角亦可表示为0=F（W0）（以后再讲） 结论：已知腔参数（R，l）可求光束的膜参数WO，已知膜参数WO，可求光束参数W（z），R（z）。 下面，讨论光束参数W（z），R（z）在Z=0到Z=间的变化规律。,一、在束腰处（即Z=0处） 1波阵面半径R（z） 即R（z）=R0=，（z=0处，R0）在z=0处，波阵面为平面波。 2初位相 ，即初位相为零 3
5、光斑半径： 即：光斑半径等于束腰半径,2-2 高斯光束的特性,4横截面光强分布： 在束腰处（即z=0）基尔霍夫公式变为：,图2-4,推导：令r=0，则E（0，0，0）= 令r=W0，则E（x0，y0，0）= 结论： 1在z=0处，与x，y有关的位相部分消失，即该处的平面为一等相面（与平面波波阵面一致）。 2振幅部分为一指数函数（高斯函数） 高斯光束的由来。 3在光束横截面内，光斑无明显边缘，通常定义的光斑大小是：电矢量幅度在光斑半径r方向减小到中心（r=0）振幅的 （或强度的 ）时的r值为高斯光束的半径。,二、高斯光束通过孔径光栏时，能量的讨论 由基尔霍夫公式；在光束传播方向上任一点z处的电矢
6、量振幅为： 而其光强E2 计算高斯光束通过某一孔径的能量，即计算高斯光束通过某一半径为的光孔时，高斯能量包的体积。 其光强为： 在通孔半径为的光强P（）,图-2-5,在 r = 时，高斯光束的全部光强P（）,设 当（通光孔径）=W（z），1.5W（z），2W（z），2.5W（z），3W（z），时，N（）值如下表：,即，当限制孔径为计算出的高斯光斑半径2.5倍时其通过的能量为全部能量的99.999%。 例：若激光输出的单脉冲能量为5mw，脉宽=5ns则瞬时功率为1106瓦（兆瓦），当=W（z）时损失能量为1106（1-0.864%）=1630瓦。,* 结论： 激光束通过透镜变换时，为保证充分利用
7、能量，则其透镜半径一般取该理论计算光斑的22.5倍。此结论在弱信号检测中尤为重要，在光盘系统中，孔径还与焦深、光斑的大小有关。 三、Z=时的波阵面半径： 上式表明：离束腰为无穷远处的等相面为平面，且曲率中心在束腰处。 可以想象：既然高斯光束传播时，在z=0处和z=处，R（z）的值均为（平面），则在中间某位置必存在一最小R（z）,四、R（z）min： 令 （共焦参数） 或称端利长度（Rayleigh） 则 令 ，得：Z=F 即在Z=F时，存在R（Z）的极小值，其极小值为： 即 ，共焦参数的由来可由图2-6解释： 共焦参数的物理意义：高斯光束传播过程中的两特殊点，在此点，波阵面半径最小，具有两对称
8、点（相对束腰）互为其波面球心。,图2-6,（五）小结： 高斯光束在自由空间传播时，R（z）随传播距离Z变化的规律： 1在Z=0（即束腰处），R（z）=，即波阵面为平面波 2在Z0时，R（z）由逐渐变小 3在Z=F时，R（z）有极小值：。 4在ZF时，R（z）逐渐变大。 5Z时，R（z），变为平面波。,图2-7,例：求W0=0.5mm的氖氪激光器输的光束的最小曲率Rmin和其所在位置Z（=0.632810-3mm） 波阵面所在位置为,图2-8,（六）远场发散角 从 可以看出，在Z=0处，光斑尺寸最小，其值为W0。随着Z增大，则W（z）非线性增大，所以，高斯光束是发散的，现在讨论其特性。 定义：光
9、束的半发散角为传输距离（Z）变化时，光斑半径的变化率 即 讨论： 1当Z=0时，=0（即在束腰处，发散角为0平面波）,2当 （等于共焦参数）时 3当 Z=时： 等效于 结论：1高斯光束的发散角随传播距离的增大而非线性增大 2在束腰处，发散角为0o在无穷远，发散角最大，其远场发散角为: 3通常将 区域定义为光束准直区 4W0越大，则远场发散角愈小。因此为了减小光束的远场发散角，可采用光学变换的方法，使其束腰增大。,例：已知一氦氖激光器，腔长L=250mm，R1=500mm，R2= 求 其远场发散角及准直区范围，离束腰1000mm处之发散角。 解：此腔型为平凹稳定腔，则其束腰在平面镜处， （1）
10、（注意：此处定义的光斑半径是振幅为中心振幅的 处）。,图2-9,亦可用公式 准直区 （2）,一、用W0和距束腰的位置Z表征高斯光束 若已知高斯光束的束腰W0及传播方向上一点到束腰的距离Z，可以根据以下公式求出光束传播（自由空间）方向任一点的波阵面半径R（z）及光斑半径W（z）。 即： 二、用W（z）和R（z）表征 若已知W（z），R（z），则可求出高斯光束的束腰W0及束腰位置Z。,2-3 高斯光束的特征参数,图2-10,即： 以上两组公式的特点：优点是直观，物理概念清晰，缺点是繁杂。那么能否找到一种更简便的计算方法呢？ 三、高斯光束的q参数 在高斯光束电矢量方程（基尔霍夫公式）中，将与横坐标（
11、x，y）有关的因子和W（z），R（z）放在一起， 即：,令：,令： 引入一个新的参数q（z），其定义为：将高斯光束的两个重要光束参数R（z），W（z）统一在一个q参数中。 即：如果我们知道了高斯光束在传播过程中任一点的q参数，则可令： 即可求出该位置的R（z）和W（z）。,* 要解决的三个问题 1q0和W0的关系：（模参数的q参数表达式） 我们知道，在描述光束传播特性时，有一个重要的参数即模参数“W0”，（即已知W0，可求光束传播任意位置的光束参数）。 因此在进行q参数变换时，也必须知道光束的膜参数wo用q参数的表达式，即求出在束腰处，qo和Wo之间的关系。 设q0 = q（o）表示Z=0处的
12、光束的q参数 且在Z=0处，R（0）=，W（0）=W0 则用（2-16）可得：,即： 即： （定义 为共焦参数） 上式将q0和W0联系起来。 2任一位置Z处的q参数： 若已知束腰的q0参数，在距离束腰为Z处的q参数为多少？通过透镜变换后的q参数为多少？,下面解决第二个问题： 将 ，及 代入公式（2-16）， 得： 即： 物理意义：已知高斯光束束腰处的q参数q0，则可由式（2-18）求在传播方向上z处高斯光束的q参数（线性相加），因此，大大简化了运算过程，这就是引q参数的意义所在。,图2-11,小结：高斯光束特征参数的两种表示方法： 第一种：变心球面波法：即已知W0求高斯光束的特征参数W（z），R（z）。 第二种：q参数法：即已知q0，求的W（z），R（z）。 下面用以上方法讨论透镜对高斯光束的变换规律。,
