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1、6.5 多元函数微分学的几何应用,6.5.1 空间曲线的切线与法平面,6.5.2 曲面的切平面与法线,6.5 多元函数微分学的几何应用,6.5.1 空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,1 空间曲线由参数方程给出时,考察割线趋近于极限位置 切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程,1. 空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,点M0(x0，y0，z0)是 上一点，又设F，G对各变量有连续偏导数，且,2 当曲线 由交面式方程给出时,由本章第五节所讲隐函数存在定理3知，在M0 的某邻域确定了一组连续可导的函数,上式等于两端对x求导数，得,代
2、入(1)式得恒等式,切线方程为,法平面方程为,(ii) 我们推出（2）式是在（2）式中的第一个分母不为零的条件下将y、z视作的x函数而推出的，如（2）式中的第一个分母为零，而第二或第三个分母不为零，这时可视y或z为自变量，同样可推出公式（2）。,注,(i) 如(2)式中有的分母为零,则相应分子为零。,解,切线方程,法平面方程,所求切线方程为,法平面方程为,1 设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,曲面上过点M0且具有切线的任何曲线，它们在点M0处的切线都位于同一平面上。,6.5.2 曲面的切平面与法线,切平面方程为,过M0而垂直于切平面的直线称为曲面在点M0处的法线
3、。法线方程为,称为曲面在点M0处的一个法向量,2 空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,法向量,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,4 曲面法向量的方向角、方向余弦,假定取法向量的方向是向上的，则,式中fx=fx(x0，y0)， fx=fy(x0，y0)。,思考如果取n向下时，方向余弦应如何求？,如方程为F(x，y，z)=0时，如何求方向余弦？,如方程为x=g(y,z)时,或y=h(z,x)时如何求方向余弦？,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设(x0 ,y0 z0 )为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为(x0 ,y0 z0 ) 是曲面上的切点,所求切点为,切平面方程(1),切平面方程(2),
