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1、1,4.3 可降阶高阶微分方程,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,2,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .,型的微分方程,3,例1.,解:,5,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,6,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,二、,7,例3. 求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,8,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,9,例4. 求解,代入方
2、程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,10,例5. 解初值问题,解: 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,11,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,例6.,二阶可导, 且,上任一点 P(x, y) 作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以,解:,于是,在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .,积记为,( 99 考研 ),12,再利用 y (0) = 1 得,利用,得,两边对 x 求导, 得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,13,M : 地球质量 m : 物体质量
3、,例7.,静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解: 如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由,14,两端积分得,因此有,注意“”号,15,由于 y = R 时,由原方程可得,因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为,16,说明: 若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .,则定解问题为,17,内容小结,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,18,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,作 业,习 题 四,（P227）,1（1）（3）（5）（7）； 2（1）（4）； 3 。,20,
