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1、第六章 定积分,6.1 定积分的概念 6.2 定积分的性质 6.3 定积分的计算 6.4 广义积分 6.5 定积分在几何上的应用,6.1 定积分的概念,求由曲线,，直线x=a,x=b和x轴所围成的,（一）引例,引例1 几何学中求曲边梯形的面积,曲边梯形的面积A:,设第i个区间长度为,过每个分点作垂直于x轴的直线段，把曲边梯形分成n个 小曲边梯形;,1、分割,曲边梯形面积,3、求和,4、取极限,引例2 物理学中求变速直线运动的路程,其中速度v（t）是时间t 的函数。,时，即分点越多是，第i个时间段的路程,1、分割,2、近似代替,3、求和,4、取极限,（二）定积分的概念,（1）、分割,（3）取极限
2、,=,（2）作和,称为被积表达式，,称为积分号,（三）定积分的几何意义,1、用定积分表示由曲线,2、试用定积分表示由曲线,与直线,3、某物体以,作直线运动，用定积分表示此物体在,内所走过的路程。,练习6.1,与直线x=2,x=6和x轴所围成的曲边梯形的面积。,所围成区域的面积。,时间段,6.2 定积分的性质,（1）,规定：,（一）定积分的线性性质,证明：,证明：,（二）定积分的区间可加性,（三）定积分的单调性,（四）定积分的中值定理,证明：,函数,又由定积分的单调性，有,所以,由介值定理可知，对于m与M之间的常数,即有,（1）,（2）,（3）,（4）,（1）,（2）,（3）,练习6.2,1、比
3、较下列各对积分值的大小:,2、估计下列积分的值,6.3 定积分的计算,（一）变上限定积分,（二）牛顿*莱布尼兹*公式,例1 求,解：因为,所以,例2求,解：因为,所以,故有,例3 求,解：（1）先求不定积分,设,=,（2）再求定积分,例4 求,解:,所以,（三）定积分的换元积分法,例5 求,解：设,当x=0时，t=0；当x=1时，t=1，则有,例6 求,解：,例7 求,解：,例8 求,解：,例9 求,当,所以,（四）定积分的分部积分法,可得,即,或,例10 求,解：,例11 求,解：,例12 求,解：,整理，得,（1）,（2）,（3）,（4）,练习6.3,1、求下列函数的导数,2、求下列定积分
4、,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,3、利用换元积分法求下列定积分,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,（9）,（10）,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,4、利用分部积分法求下列定积分,6.4 广义积分,（一）无穷区间上的广义积分,即,+,例1 求广义积分,所以广义积分,例2 求广义积分,（二）无界函数的广义积分,例3 求广义积分,解：因为,由定义，对于任意的正数，有,例4 求广义积分,所以是无界函数的广义积分。对于任意的正数，有,练习6.4,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,求下列广义积分,6.5 定积分在几何上的应用,（一）平面图形的面积,=,由图所示：,（二）旋转体的体积,图形绕着y轴旋转而得到的体积公式为,是积分变量为x的旋转体体积公式,解：如图，由体积公式，有,所以所求旋转体 的体积为,故交点坐标为,把y看成积分变量，则体积为,练习6.5,1、求下列平面曲线所围成的区域的面积。,（2）,（3）,（1）,2、求下列曲线围成的图形绕指定旋转轴旋转所产生的,（2）,；,（1）,旋转体的体积。,
