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1、第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1 多项式解答,3-2 位移分量的求出,3-3 简支梁受均布载荷,3-4 楔形体受重力和液体压力,6-4 应力函数的多项式解答,一. 一次多项式,适用性：,由一些直线边界构成的弹性体。,目 的：,考察一些简单多项式函数作为应力函数 (x,y) ，能解决什么样的力学问题。,逆解法,其中： c1、c2、c3 为待定系数。,检验 (x,y) 是否满足双调和方程：,显然 (x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。,（1）,（2）,（3）,对应的应力分量：,若体力：fx fy 0，则有：,结论：,一次多项式对应于无体力和无应力状态；,应力函数加上或减去一个一次多
2、项式，对应力无影响。,二. 二次多项式,（1）,其中： c1、c2、c3为待定系数。,（假定： fx fy 0; c1 0 , c2 0, c3 0）,检验 (x,y) 是否满足双调和方程，显然有,（2）,（可作为应力函数 ）,（3）,计算应力分量：,结论：,二次多项式对应于均匀应力分布。,2c3,2c3,2c1,2c1,三. 三次多项式,（1）,其中: c1、c2、c3 、c4为待定系数。,检验 (x,y) 是否满足双调和方程，显然有,（2）,（可作为应力函数 ）,（假定：fx fy 0）,（3）,计算应力分量：,结论：,三次多项式对应于线性应力分布。,如，图示板的应力函数应为,例：,则,取
3、,（fx fy 0）,图示梁对应的边界条件：,可见，,对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。,由梁端部的边界条件：,可见，此结果与材力中结果相同，,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,无轴力,说明：,组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。,但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。,当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。,若按其它形式分布，则此结果不精确，有误差；,四. 四次多项式,（1）,检验 (x,y) 是否满足双调和方程,（2）,代入：,得,可见，其待定系数，须满足上述关系才能作为应力函数。,（1）,多项式次数 n 4 时，则系数可
4、以任意选取，总可满足 。,多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。,多项式次数 n 越高，则系数间需要满足的条件越多。,（2）,一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数 (x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。,（3）,（4）,用多项式构造应力函数 (x,y) 的方法 逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。,五. 多项式应力函数的性质（总结）,以纯弯曲梁为例，说明用应力函数法得到应力分量后如何求出应变分量和位移分量？,一. 应变分量和位移分量,前已得到纯弯梁的应力解答为：
5、,由平面应力的物理方程：,由几何方程：,3-2 位移分量的求出,将前两式积分，得：,式中：,为待定函数。,将其代入第三式，得：,函数理论：,对于任意的F(x)和G(y) ，若,F(x) G(y),则F(x)和G(y) 必等于同一常数。, 常数,所以,积分,其中u0 、v0 、 为待定常数,可由位移边界条件确定,讨论：,铅垂方向线段的转角，即 u 关于铅垂方向的变化率。,（1）,当 x = x0 =常数,常数,说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。, 材力中“平截面假设” 成立。,（2）,将 v 对 x 求二阶导数：, 常数,说明：在小变形下，梁纵向纤维的曲率相同。即, 材料力学中挠曲线微分方
6、程,（3）,对于平面应变问题，仅需作E1E、1 替换,二. 位移边界条件的利用,（1）两端简支,其位移边界条件：,代入上式解之,所以,与材力中梁的挠曲线方程结果相同,（2）悬臂梁,位移边界条件：,代入,恒不满足,放松条件，,边界条件改写为：,（中点不动）,（轴线在端部不转动）,代入位移表达式解得,所以,挠曲线方程：,与材料力学中结果相同,若边界条件改写为：,（中点不动）,（中点处竖向线段转角为零）,所得结果与前相同,要点:,一. 应力函数的确定,用半逆解法求解梁、长板类平面问题。,（1）,分析：,推想：,积分, 任意的待定函数,由上下边边界条件：,对于任意,均有,再积分,其中,3-3 简支梁受
7、均布载荷,（3）,由相容确定待定函数,代入相容方程：,视之为关于 x 的二次方程，,欲使其在 l x l 内均成立，,须有 x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即,先对第一、二式积分,（略去常数项）,再将f (y)代入第三式积分得,（略去一次项和常数项）,所以,二. 应力分量的确定,利用应力边界条件可建立九个关系式以确定待定常数,为减少计算工作量，可先进行简化分析,三. 对称性的利用,由荷载对称和几何对称：,x、y 应为 x 的偶函数,xy 应为 x 的奇函数,则有,由 y 的任意性，必有,所以,现再利用应力边界条件确定待定常数,四. 应力边界条件,上边界：,下边界：,四式联立求解,所以,左
8、右边界（次要边界）：,因对称，只考虑一边（如右边界）。,由于面力分布未知，,由静力等效力系替代。,满足,故,截面上的应力分布：,五. 讨论,（1）次要边界上的误差,按上述解答，梁的左右边界存在水平面力,说明在两端与实际不符。,乃静力等效替代所致，,但随远离迅速衰减。,（2）与材力结果比较,将,代入,a）x ：,第一项与材力结果相同，为主要项。,第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正。,b）y ：,为梁各层纤维间的挤压应力，材力中未考虑。,c）xy ：,与材力结论相同。,（3）如果事先作更深入的分析，可使计算工作量减少。,（避免解微分方程）,分析如下：
9、, 直线、直角边界，应力函数可选用多项式。,（几次？）,x 应为三次多项式, 比 x 高两次 应为五次多项式。,（共21项，略去线性和常数项，有18项）,即：, 如前对称性分析,x、y 应为 x 的偶函数，,xy 应为 x 的奇函数,则 应是 x 的偶函数，即, 如前边界条件分析,y 与 x 无关，则 中高于 x2 项为零,则, 由相容方程,由 y 的任意性,所以,再利用边界条件确定六个待定系数,附1：解题步骤小结,（1）,（2）,（3）,根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（如面,由应力分量与应力函数的关系式，求得应力函数的具体形,（4）,（5）,将具有待定函数的应力函数代入相容方程
10、确定应力函数中,由应力分量与应力函数的关系式，求得应力分量（具有待,由边界条件确定应力分量中的待定常数。,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：,力分布规律、对称性等），估计某个应力分量的变化形式。,式（具有待定函数）。,的待定函数形式（具有待定系数） 。,定系数） 。,附2：应力函数确定的“材料力学方法”,要点：,利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。,适用性：,直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。,应力函数常可表示为：,由边界面力先确定 f (x) 或 g (y) 其中之一的规律，然后将其代入相容方程确定另外一个函数。,应力分
11、量与梁内力的关系一般可表示为：,其中M(x)、 FQ(x) 和 q(x)分别为梁的弯矩、剪力和横向分布力。,例：,悬臂梁，厚度为单位1， 常数。求：应力函数 及梁内应力。,解：,(1) 应力函数的确定,取任意截面，其内力如图：,取 作为分析对象，可假设：, f (y)为待定函数,由 与应力函数 的关系，有：,对 x 积分一次，有：,对 y 再积分一次，有：,由,得,要使上式对任意的 x ，y 成立，有,(2) 应力分量的确定,(3) 利用边界条件确定常数,故,要点:,半逆解法的量纲分析法,问题:,楔形体，下部可无限延伸；,受自重作用，楔形体的密度为；,侧面受液体压力作用，液体的密度为 。,求：楔形体应力分布规律,一. 应力函数,（1）量纲分析：,应力分量由,构成,应力分量须由比重与坐标的乘积构成。,应力分量应是 x、y 的一次多项式,3-4 楔形体受重力和液体压力,（2）应力函数的形式：,由应力函数与应力分量的关系,即,（不存在常数项）,故设应力函数,二. 应力分量,三. 应力边界条件,竖边：x 0,斜边：,解之,回代,
