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1、大哉数学之为用,1959年5月，华罗庚教授在人民日报 上发表了大哉数学之为用，精彩地叙 述了数学的各种应用：宇宙之大、粒子之 微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生 物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有 数学的重要贡献。很难比这篇文章写得更 全面了。下面只举些60年代以后数学的若 干重大应用，以见一斑。我们会看到，有 些重要问题的解决，数学方法是唯一的， 也就是说，除数学外，用任何其他方法、 仪器、手段都会一筹莫展。,1沙漠风暴与数学战,1990年伊拉克点燃了科威特的数百口 油井，浓烟遮天蔽日。美国及其盟军在沙 漠风暴以前，曾严肃地考虑点燃所有油井 的后果。据美国超级计算评论杂志披 露，五角大楼
2、要求太平洋-赛拉研究公司研 究此问题。,2石油勘探,这是数学取得重大经济效益的应用场所 之一。石油深藏地下，人们通过人工地震记 下反向回来的地震波，波形随着地层地质的 不同而变化。,用计算机处理所得的波形数据可以提 供地下岩层、岩性以及有关石油、天然气 等的知识。1991年5月，美国壳牌石油公 司应用计算技术于新奥尔良以南39公里的 河流之下930公里处，探明了一个储量超 过10亿桶的大油田。我国在这方面也做了 许多工作（见后）。在数据处理中， Wiener滤波起到重要作用。,3DNA与CT,如果说二次大战以前，数学主要用于天文、 物理，那么，现在数学已深入到化学、生物和 经济、管理等社会科学
3、中。例如，DNA是分子 生物学的重要研究对象，是遗传信息的携带者， 它具有一种特别的立体结构双螺旋结构， 后者在细胞核中呈扭曲、绞拧、打结和圈套等 形状，这正好是数学中的扭结理论研究的对象， 北京大学姜伯驹教授对此深有研究。,下面两项有关生物、医学和化学的高技术 中，数学起着关键性作用。X射线计算机层析 摄影仪（简称CT）的问世是本世纪医学中的 奇迹，其原理是基于不同的物质有不同的X射 线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数 的分布，就能重建其断层或三维图像。但通 过X射线透射时，只能测量到人体的直线上 的X射线衰减系数的平均值（是一积分）。,当直线变化时，此平均值（依赖于某参数） 也随之变化
4、。能否通过此平均值以求出整个衰 减系统的分布呢？人们利用数学中的Radon变 换解决了此问题，Radon变换已成为CT理论的 核心。首创CT理论的AMCormark（美） 及第一台CT制作者CNHounsfield（英） 因而荣获1979年诺贝尔医学和生理学奖。,另一项高技术是HHauptman与JKarle 合作，发明了测定分子结构的新方法，利用它 可以直接显示被X射线透射的分子的立体结构。 人们应用此方法，并结合利用计算机，已测出 包括维生素、激素等数万种分子结构，推动了 有机化学、药物学和生物学等的发展；二发明 人分享了1985年的诺贝尔化学奖。由此可见在 此二项技术中数学的关键作用。,
5、4Hardy的故事,GHHardy（18771947）是英国著 名的数学家，他推崇数学的“纯粹”和“美”， 认为数学是一种永久性的艺术品。他从不谈 （甚至轻视）数学的应用，他写道：“我从不 干任何有用的事情，我的任何一项发现都没 有，或者说不可能给这个世界的安逸带来最 细微的变化他们（指某些数学家）的工 作，也和我的同样无用”。,但他万万没有想到，1908年他发表的 一篇短文却在群体遗传学中得到重要应用。 那篇文章可直观地解释如下：人的某种遗 传学病（如色盲），在一群体中是否会由 于一代一代地遗传而患者越来越多？20世 纪初有些生物学家认为确会如此，如果这 样，那么势必后代每个人都会成为患者。
6、 Hardy利用简单的概率运算，指出这种说 法是错误的。他证明了：患者的分布是平 稳的，不随时间而改变。差不多同时，德 国的一位医师Weinberg也得到同样的结 论。这一发现被称为HardyWeinberg 定律。,5高超的数学工具 在宏观经济中的应用,宏观经济学研究经济综合指标的控制，例如 研究失业、价格水平以及收支平衡的控制等。而 微观经济学则针对买方和卖方，讨论消费与生产 中的选择问题。1972年以来，承担调整美国经济 的政府机构联邦储备局，以最优控制方法，特别 是线性二次方法为背景，提出了包括失业与通货 膨胀平衡的政策建议。,1973年，商业周刊登了一篇文章， 概述了最优控制在经济学
7、中的潜在作用， 文章说：“你如何努力地及时地刹住过于 繁荣的经济，而又不至于滑入灾难性衰退 的危险之中？美国的决策者们恰好面 临这种情形，而从经济学家那里极少得到 明确的建议对这种两难的情况，可从 最优控制理论得到方法上的帮助”。,利用控制理论和梯度法，人们求解了南朝鲜经济的最优计划模型（参考Econometrica，Vol.33，May，1970，D.Kendrick等的文章）。美国、加拿大、智利等也有类似的经济模型。,6、提高产品质量 数字在微观经济学中之应用,数理统计学的应用极为广泛，它的优势是 从有限次的观察或实验中提取重要的信息。 数理统计中的篇章“实验设计”、“质量控制 （QC）”
8、、“多元分析”等对提高产品的质量 往往能起到重要的作用。,一家美国电视机制造公司被日本人买下， 这家公司的废品率非常高。通过运用QC后， 废品率下降到2。下面的例子说明美国电话 电报公司如何使用QC以提高质量。问题是关 于自动化装配线，这一装配线由几个机件组 成，其生产率出奇的低，而人们又找不出原 因。,QC方法首先是收集数据以确定失败模式， 很快找出问题的症结是生产线上所用的塑料 成分的尺度变化太大；这些塑料部件过分弯 曲；金属元件间的焊接点过厚，使机件运行 阻塞。经过一年的改进，生产率增加121， 工作时间减少61，产品成功率从90增到 98%。,一般地，某产品的质量依赖于若干个因素 （原
9、料、工艺时间等等），每一因素又有若干 种可能的选择，如何挑出最优的选择搭配以求 获得最佳的产品，是统计实验设计（SED）的 主要研究问题。,SED有一段发展史，20年代，RA Fisher在农业中运用SED，取得前所未 有的成功。20年代中叶蒂皮特运用SED 于棉纺工业，随后又用于化学和制药工业。,50年代，美国戴明把SED介绍到日本， 对日本制造业产生很大影响，日本工程师 田口用此法以减小产品性能异性从而提高 产品质量。日本工业广泛运用统计质量控 制，后又发展成全面质量管理，这项措施 大大提高了日本产品的质量，在国际上最 有竞争力，引起了巨大的反响。80年代， 许多美国工业公司通过田口把统计
10、方法用 到设计和制造中，产品质量不断地得以提 高。,7飞机制造,制造业中广泛地用到数学，今以飞机 为例，设计师必须考虑结构强度与稳定性， 这是用有限元来分析的，而机翼的振动情 况则需解特征值问题；为了使飞机省油与 提高速度必需找到一种最佳机翼和整个机 体的形状；如何为飞行员选择最优控制参 数，也是必须考虑的问题。,飞机设计在极大程度上以计算为基础， 人们研究描绘机翼和整个机体附近气流的 方程。工程设计和制造工艺主要靠计算机 辅助设计（CAD）和计算机辅助制造 （CAM）两大工具，而这两者又都以数学 为理论基础。计算流体力学可以帮助人们 设计新的飞行器。数学模型已代替了许多 的实验，如风洞实验，
11、既便宜、省时，又 有适用性、安全性。,以前利用风洞设计飞机某一部件，若要 改变某一部位，必须在机械车间建一模型； 而今天设计一数学模型，只要通过键盘打进 新的参数即可。自动导航与自动着陆系统是 根据卡尔曼滤波的方法设计的，而后者主要 又是数学。在涡轮机、压缩机、内燃机、发 电机、数据存储磁盘、大规模集成电路、汽 车车身、船体等的设计中，也都用到了类似 的先进数学设计方法。,8太阳系是稳定的吗？,地球的前途如何？是一个虽然遥远却 非常有趣而重要的问题。将来太阳系是否 会保持现状？是否有某行星脱离太阳系？ 行星间是否会碰撞？数学证明，太阳系在 相当长时间内是稳定的，至少10亿年内如 此。科学家还用
12、计算模拟以研究恒星消亡 过程。,太阳最后变成一颗白矮星；但一颗质 量约为8-10倍于太阳的恒星则会发生超新 星爆炸：由于热源枯竭而收缩到一个小城 市大小，密度达到原来的100万亿倍。这 些物质产生巨大的刚性反弹而爆炸，恒星 外壳被炸掉而剩下的残余成为中子星。天 文学是数学的重要用武场所，1846年勒维 耶通过计算在笔尖上发现海王星，在科学 史上传为佳话。,在多体问题的研究中，由于初始条件不 同，多体系统的运动或表现为规则的，或表 现为混沌的。行星沿椭圆运动是规则运动的 例子，而小行星在Kirkwook窗口的运动是 混沌运动的例子：与木星的共振相互作用导 致偏心率随机的变化，有时朝这一方向，有
13、时朝另一方向；无规则变化的偏心率可能变 得很大，这时小行星便可能陨落，例如落到 火星上。,傅立叶转换(FastFouierTransform)上世纪60年代，电子计算器的技术也达到一定的水准，足以快速处理大量资料。1965年，Cooler和Tukey发表“一个复数傅立叶级数之机械计算算法则”论文，改进了离散傅立叶转换的演算，提出了快速傅立叶转换(FastFouierTransform)算法。,它的价值在于使用更快的计算方式来节省计算器的时间，降低了数字讯号处理中乘法的运算量，使得更多更复杂的讯号得以快速的处理，改善了数字讯号不能实时处理的问题，为数字讯号的实时处理带来了希望，因此，快速傅立叶转换FFT是数字讯号处理发展史上的一个重要里程碑。数字讯号处理从此随着数字电子计算器和集成电路的发展结合，这就是数字讯号处理器的前身。,
