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1、1,概率论与数理统计,第一章 随机事件及其概率,2,引 言,概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支.,所谓随机现象，是相对于决定性现象而言的.,一定条件下必然发生(或出现)某一结果的现象称为决定性现象.,例如，在没有外力作用下，作匀速直线运动的物体必然继续作匀速直线运动；,又如在标准大气压下，纯水加热到100时必然会沸腾等等.,3,这些条件和结果之间存在着必然联系的现象就是决定性现象.,5,这些现象的特点是：,（1）在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果. （2）每一次试验或观察之前，不能完全肯定会出现哪种结果. （3）究竟出现哪种结果，呈现出偶然性.,这种现象称为随机现象
2、.,6,概率论研究随机现象有其独特的方法.,它不是企图追索出现每一结果的物理因素，从而象研究确定性现象那样确定无疑地预报在哪些条件下出现某一确定的结果，而是通过对随机现象的大量观察，揭示其规律性.,例如连续多次掷一枚硬币，随着投掷次数的增加，出现正面的频率(出现正面的次数与投掷次数之比)逐渐稳定于1/2，从而揭示“出现正面”这一结果发生的可能性大小为1/2；,又如多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一个常数等等.,7,概率论有悠久的历史，它的起源与赌博问题有关.,16世纪，意大利的学者开始研究掷色子(骰子)等赌博中的一些简单问题，例如比较两个色子出现点数之和为9
3、与10的可能性大小.,17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马(P.de Fermat)及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了“分赌注问题”、“赌徒输光问题”等.,随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有一种相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展.,8,使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利(J.I.Bernoulli)，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率.,随后棣莫弗(A.de Moivre)和拉普拉斯(P.S.L
4、aplace)又导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)的原始形式.,拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了分析的概率理论，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有利的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段.,9,19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.,20世纪初受物理学的刺激，人们又开始研究随机过程.这方面柯尔莫哥洛夫、维纳(N.Wiener)、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒(W.Feller)等人做了杰出的贡献.,10,如何定义概率，如何把概率论建立在严格的
5、逻辑基础上，是概率论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了三个世纪.,二十世纪初完成的勒贝格测度(H.L.Lebesgue)与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础.,在这种背景下苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的概率论基础一书中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系.他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年概率论的迅速发展起了积极的作用.,11,数理统计学是概率论的一个姐妹学科，研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性质的数据，以对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.,统
6、计学自古有之，例如人口统计、社会调查等.但它不是现代意义下的数理统计学，只是数据的记录和整理.,数理统计学是随着概率论的发展而发展起来的.,当人们认识到必须把数据看成是来自一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不能局限于数据本身之日，也就是数理统计诞生之时.,12,在19世纪中叶以前已出现了若干重要的工作，特别是高斯(C.F.Gauss)和勒让德关于观测数据的误差分析和最小二乘法.,但数理统计学发展成为一门成熟的学科，则是20世纪上半叶的事.,皮尔森(K.Pearson)、费希尔(R.A.Fisher)作出了重大贡献，1946年，克拉默发表的统计学的数学方法是第一部严谨且比较系统的数理统
7、计著作，可以把它作为数理统计学进入成熟阶段的标志.,13,数理统计学用到很多近代数学知识，但与其关系最密切的是概率论.,在很大程度上可以说概率论是数理统计的理论基础，数理统计是概率论的一种应用，并且补充和丰富了概率论.它们是两个并列的数学分支，并无从属关系.,目前，概率论与数理统计的理论与方法已广泛的用于自然科学、技术科学、社会科学及人文科学的各个领域.,近年来随着科学技术的迅速发展，它在经济、管理、工程、技术、物理、气象、海洋、地质等领域中的作用愈益显著.,14,随着计算机的发展与普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法.,概率论与数理统计向各个领域渗透，产生了许多新的
8、分支和边缘科学，如生物统计、统计物理、数学地质、教育统计等.,同时概率论与数理统计又是许多新的重要学科的基础，如信息论、控制论、排队论、预测论、可靠性理论及人工智能等.,概率论与数理统计，作为理论严谨、应用广泛、发展迅速的数学分支正日益受到人们的重视并发挥着重大的作用.,15,第一章 随机事件及其概率,1.1 随机事件,1.1.1 必然现象和随机现象,人们在实践活动中所遇到的现象，一般来说可以分为两类：一类是必然现象，或称确定性现象；另一类是随机现象，或称不确定性现象.,必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象；只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的.,16,必然现象是指
9、在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象.,例如： 在标准大气压下，将纯水加热到100,水必然沸腾； 用手向空中抛出的石子，必然下落； 作匀速直线运动的物体，如果没有外力的作用，必然继续作匀速直线运动等等， 这些现象都是必然现象.,对这种现象来说，只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的.,17,随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象： 对这种现象来说，在每次试验之前哪一个结果发生，是无法预言的.,例如： 新生婴儿，可能是男孩，也可能是女孩； 向一个目标进行射击，可能命中目标，也可能不命中目标； 测量某个物理量，由于许多偶然因素的影响，各次
10、测量的结果不一定相同等等， 这些现象都是随机现象.,18,对随机现象，是否有规律可寻呢？,人们经过长期的反复实践，发现这类现象虽然就每次试验结果来说，具有不确定性，但大量重复试验，所得的结果却呈现出某种规律性.,例如： (1)掷一枚质量均匀的硬币，当投掷次数很大时，就会发现正面和反面出现的次数几乎各占1/2.,历史上，蒲丰(Buffon) 掷过4040次，得到2048次正面；皮尔逊(K.Pearson) 掷过24000次，得到12012次正面.,19,(2)对一个目标进行射击，当射击次数不多时，弹孔的分布看不出有什么规律性；,但当射击次数非常多时，就可以发现弹孔的分布呈现出一定的规律性： 弹孔
11、关于目标的分布略呈对称性，且越靠近目标的地方弹孔越密，越远离目标的地方弹孔越稀.,20,x,O,y,21,(3)从分子物理学的观点来看，气体分子对器壁的压力是气体分子对器壁碰撞的结果.,由于分子是时刻不停地、杂乱无章地运动着地，运动的速度和轨道都是随机的，因而气体分子对器壁也是随机的.,初看起来器壁所受的压力是不稳定的； 可是实验证明，由于分子的数目非常大，各分子运动所具有的随机性在集体中互相抵消、互相平衡了，使得器壁所受的总压力呈现一种稳定性. 分子的数目越大，压力就越稳定.,22,从上述的几个例子可以看到，随机现象也具有规律性，这种规律性可在相同条件下的大量重复试验或观察中呈现出来.这种规
12、律性称为随机现象的统计规律性.,概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科.,23,第一章 随机事件及其概率,1.1 随机事件,1.1.2 随机试验与事件、样本空间,对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各种科学实验(为了叙述方便，统称为试验).,例如，掷一枚硬币，观察哪面朝上；,向一个目标进行射击，观察是否命中；,从一批产品中随机抽取一个产品，检查它是否合格；,24,向坐标平面内任投一银针，测量此针的针尖指向与x轴正向之间的交角等等；,这些都是试验.通过仔细的分析，可以发现，这些试验具有如下的共同特点：,（a）试验可以在相同的条件下重复进行；,（b）试验的所有可能的结果不止一
13、个，而且是事先已知的；,（c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的.,25,如掷硬币的例子，试验是可以在相同的条件下重复进行的，试验的可能的结果有两个，即正面和反面；每次试验必出现其中之一，但投掷之前是不可能预言正面出现还是反面出现.,人们将满足上述（a）、（ b ）、（ c ）三个条件的试验，称为随机试验，简称为试验，以字母E来表示.,为了研究随机试验，首先要知道这个试验的所有可能的结果是哪些.,随机试验的每一个可能的结果称为基本事件，也称作样本点，用字母e表示.,26,随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的的样本空间，记为S.,在
14、讨论一个随机试验时，首先要明确它的样本空间。对一个具体的试验来说，其样本空间可以由试验的具体内容确定.,下面看几个例子.,例1 掷一枚质量均匀对称的硬币，观察正反面出现情况，这是个随机试验.,可能的结果有两个：正(正面朝上)，反(反面朝上).,故样本空间 S=正，反,27,例2 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这也是个随机试验.,可能的结果有四个： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).,这里括号内的第一个和第二个字，分别表示第一次和第二次掷的结果.,故样本空间 S=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).,28,例3 记录某电话交换台在一段时间内接到的
15、呼叫次数，这是个随机试验.,它的基本事件(记录的结果)是一个非负的整数，,由于难以确定一个呼叫的上界，所以样本空间 S=0,1,2,例4 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命，这是个随机试验.,设t表示灯泡的使用寿命，则样本空间 S=t|t0.,29,例5 观察某个地区一昼夜的最低温度x和最高温度y.,设这个地区的温度不会小于T0也不会大于T1，则样本空间 S=(x,y):T0 xyT1.,30,在试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称为事件，以字母A，B，C，等来表示.,有了样本空间的概念便可以用集合的语言来定义事件.,下面先从一个例子来分析.,31,例6 将一枚质量均匀对
16、称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这是个随机试验.,在这个随机试验中，若设 A表示事件“第一次出现正面”.,在一次试验中，A发生当且仅当在这次试验中出现基本事件 (正，正)，(正，反) 中的一个.,这样可以认为A是由(正，正)，(正，反)组成的，而将A定义为它们组成的集合 A=(正，正)，(正，反).,32,又如 事件B表示“两次出现同一面”,在一次试验中，B发生当且仅当在这次试验中基本事件 (正，正)，(反，反) 中的一个出现.,这样可以认为B是由(正，正)，(反，反)组成的，而将B定义为它们组成的集合 B=(正，正)，(反，反).,33,类似地，事件C=“至少有一次出现正面”，可定义为集合,C=(正，正)，(正，反)，(反，正).,事件D=“第一次出现反面”，可定义为集合,D=(反，正)，(反，反).,一般地，人们将事件定义为基本事件的某个集合，即样本空间的某个子集，称事件A发生，当且仅当A中的某一个基本事件出现.,34,特殊事件,样本空间S和空集作为S的子集也看作事件.,由于S包含所有的基本事件，故在每次试验中，必有一个基本事件eS发生，即在试验中，事件
